si f es una función con dominio $\mathbb{R}$ que se puede escribir $f = E + O$ donde E es una función par...

Question

Si f es una función con dominio $\mathbb{R}$ que se puede escribir $f = E + O$ donde E es una función par y O una función impar, demostrar que escribiendo $f$ de esta manera es única.

Sol'n:

Una solución que leí sugería: $$ f(x) = E(x) + O(x) \\f(-x) = E(x) - O(x)$$

Lo que no entiendo es cómo ilustra esto que la función es única.

Answer 1

Puedes resolver las ecuaciones de $E$ y $O$ en términos de $f$ :

$$\begin{align*} E(x)&=\frac12\big(f(x)+f(-x)\big)\\ O(x)&=\frac12\big(f(x)-f(-x)\big) \end{align*}$$

para cada $x\in\Bbb R$ . Así, $E$ y $O$ están completamente determinados por la función $f$ .

Answer 2

Supongamos que $f(x)=E_1(x)+O_1(x)=E_2(x)+O_2(x)$ con el $E_i$ incluso y el $O_i$ impar ( $i=1,2$ ). Entonces $$ E_1(x)-E_2(x)=O_2(x)-O_1(x)$$

El lado izquierdo es par y el derecho es impar. Pero la única función que es par e impar es la función cero.