Mi definición de un álgebra unital asociativa sobre un anillo conmutativo $R$ es esta: una $R$ -Módulo $A$ junto con una multiplicación bilineal $A\times A\to A$ compatible con la multiplicación escalar: $\lambda (xy)=(\lambda x)y=x (\lambda y)$ . He leído que tal álgebra puede ser descrita como un objeto monoide en la categoría de $R$ -de la misma manera que un anillo puede ser visto como un objeto monoide en la categoría de grupos abelianos. Lo que no puedo entender es: ¿cómo puedo expresar la propiedad de compatibilidad anterior utilizando los diagramas conmutativos de un objeto monoide en $R$ -¿Categoría de módulos? (pregunta similar para las propiedades de distributividad de un anillo).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para hablar de objetos monoides hay que estar en una categoría monoidal.
Si se considera la categoría monoidal de $R$ -con la estructura monoidal proporcionada por el producto tensorial, por lo que un objeto monoide viene dado por un objeto $M$ y morfismos $m \colon M \otimes M \to M$ y $e \colon 1 \to M$ haciendo conmutar ciertos diagramas.
Por la propia definición del producto tensorial el mapeo $m$ es esencialmente un $R$ -bilineal (porque identificamos el mapa bilineal con el mapa lineal subyacente del producto tensorial).
Espero que esto ayude.
