Representaciones diagramáticas de los funcionales generadores $Z[J]$ , $W[J]$ y $\Gamma[\varphi]$

Question

El libro Bulevar de las simetrías rotas de Adriaan Schakel ofrece una excelente, aunque no excesivamente breve, visión general del enfoque de la integral de la trayectoria en la teoría de las perturbaciones. En particular, las páginas 47-58 ofrecen una excelente descripción diagramática de la función de partición $Z[J]$ el generador de funciones de correlación conectadas $W[J]$ y la acción efectiva $\Gamma[\varphi]$ ( $\varphi$ es en cambio $\phi_c$ en el texto de Schakel). Aunque su exposición me ha parecido increíblemente perspicaz, estaría bien poder contrastar mi comprensión con otro libro de texto un poco más detallado. Por desgracia, la mayoría de las referencias estándar que he consultado (Peskin/Schroeder, Schwartz, Zinn-Justin y un pequeño puñado de libros de teoría de campos de materia condensada) no parecen tener la misma representación diagramática de estas funciones generadoras como sumas sobre todos los diagramas posibles. ¿Hay alguna otra referencia que entre en estos detalles?

Estoy particularmente interesado en ver si la transformada de Legendre $W[J] \rightarrow \Gamma[\varphi]$ puede entenderse de forma esquemática. Creo que el libro de Schakel casi lo consigue: al escribir cada diagrama completamente conectado en $W$ como un diagrama 1PI más propagadores, y utilizando el hecho de que el propagador está relacionado con $\delta \varphi / \delta J$ Creo que debería ser posible comerciar con el exterior $J$ para el exterior $\varphi$ 's. Pero aún no comprendo el panorama completo, y especialmente no comprendo cómo $\int J \varphi$ en la transformada de Legendre entra en la diagramación.

Pido disculpas de antemano si esta pregunta ya se ha formulado antes, ¡agradecería mucho cualquier referencia!

Answer 1

Estas son dos fuentes que me vienen a la mente cada vez que pienso en este tipo de argumentos que implican acciones efectivas, y en particular sus representaciones diagramáticas ya que este fue un tema con el que yo mismo luché durante algún tiempo y no he encontrado muchas fuentes que realmente profundicen en esto.

El primero es "Modern Quantum Field Theory: A Concise Introduction", de Thomas Banks. De hecho, hay una sección en la que se discute específicamente cómo funciona la transformación de Legendre y alguna discusión (incluyendo un diagrama en la página 30 en la versión a la que tengo acceso) sobre cómo representar esta idea de forma diagramática, que es precisamente una de las cosas que has pedido. Sin embargo, el libro de Banks tiene un inconveniente: es, efectivamente, una introducción concisa. Por ello, en el texto se trabaja muy poco (si esto es suficiente para usted, depende de sus preferencias) y, en cambio, muchos cálculos se dejan como ejercicios para el lector. Como resultado, en muchos puntos el libro es muy bueno para transmitir el pensamiento moderno sobre los temas de QFT, pero puede parecer algo insuficiente en términos de detalles.

El segundo libro que me gustaría mencionar es "Quantum Field Theory: A Modern Perspective", que personalmente he encontrado excepcional en una amplia variedad de temas. No tiene las bonitas imágenes que tiene Banks para la acción efectiva, pero incluye muchos más detalles al representar estas ideas en fórmulas y símbolos (por lo que ambos van muy bien de la mano). En particular, el libro de Nair es el que encontré particularmente esclarecedor con respecto a la relación precisa entre la acción efectiva y las funciones de Green. El inconveniente del libro de Nair es que, al contener muchos más detalles, se tarda más en analizarlo. Además, el libro se inclina un poco más hacia las matemáticas de lo que a algunos les gustaría.

Seguramente habrá otras fuentes por ahí, pero estas son dos que me han parecido especialmente buenas en relación con este tema. En mi opinión, ambos aportan algo ligeramente diferente, pero yo recomendaría empezar con Banks para ver si eso llena los espacios en blanco de algunas de las ideas, y luego, si quieres más, Nair probablemente puede llenar los espacios en blanco en los detalles.