Mostrando $H\unlhd G$ al $[G\colon H]$ no es el más pequeño de primer dividiendo $|G|$

Question

Recientemente he leído sobre el teorema de que para un determinado grupo de $G$ si $p$ es el menos el primer dividiendo $|G|$, entonces cualquier subgrupo $H$ $[G\colon H]=p$ es normal en $G$.

Va sobre algunos de los ejercicios, este teorema de hecho es fácil ver que un subgrupo de $H$,$|H|=35$, es normal en $G$ al $|G|=70$.

Una situación similar no era tan obvio. Si $|H|=35$, pero $|G|=140$, $H$ índice de $4$. Entonces, ¿cómo se podría ir sobre demostrando $H\unlhd G$? Gracias.

Answer 1

Un $7$-subgrupo de Sylow de $G$ orden $7$; el número de $7$-subgrupos de Sylow debe ser congruente a $1$ modulo $7$, y debe dividir $140 = 7\times 5\times 4$. Por lo tanto, se debe dividir $20$ y ser congruente a $1$ modulo $7$; la única posibilidad es que el número de $7$-subgrupos de Sylow de $G$ es uno (por lo tanto, es normal; de hecho, la característica) por Lo tanto, el subgrupo $H$ orden $35$ debe contener el único $7$-subgrupo de Sylow de $G$.

Del mismo modo, un $5$-subgrupo de Sylow de $G$ orden $5$, y el número de $5$-subgrupos de Sylow de $G$ debe ser congruente a $1$ modulo $5$ y se dividen $140$, por lo tanto debe dividir $7\times 4$. La única posibilidad es que no hay una única $5$-subgrupo de Sylow de $G$ (que es por lo tanto una característica, y por lo tanto normal), que también debe estar contenida en $H$.

Por lo tanto, $H$ debe ser producto de la única $7$-subgrupo de Sylow y la única $5$-subgrupo de Sylow de $G$. Desde $H$ es el producto de la característica de los subgrupos, de hecho, es característico y, por tanto, normal en $G$.

(Tenga en cuenta que cualquier grupo de orden 35 es necesariamente cíclico, por cierto).

Answer 2

Yo creo que puede haber pensado una respuesta que no usamos un montón de teoría de grupos. Si alguien lee esto, te agradecería comentarios sobre si es correcto o incorrecto.

Deje $H$ actuar en $G/H$$h\cdot gH=hgH$. Desde $[G:H]=4$, de la órbita de cualquier $gH\in G/H$ es en la mayoría de las $4$. Pero el orden de cualquier órbita debe dividir $|H|$, por lo que debe ser $1$, $5$, $7$, o $35$. Así que cada órbita es de orden 1, y por lo tanto trivial desde $egH=gH$, en particular. Por lo $hgH=gH$ para cualquier $g\in G$, $h\in H$, por lo tanto $g^{-1}hgH=g^{-1}gH=H$. A continuación,$g^{-1}hg\in H$, lo $H\unlhd G$?