Me gustaría entender la ley de Gauss para el campo eléctrico sin utilizando el teorema de la divergencia. Ya estoy al tanto de preguntas relacionadas como este .
Considere un cargo $q$ situado en el origen y una caja como superficie gaussiana definida como: $$V = \{(x,y,z) : x \in [-a, a], y \in [b, c], z \in [-d, d]\},$$
con $a>0$ , $c > b > 0$ y $d > 0$ . Como se sabe, la carga $q$ genera un campo eléctrico en un punto genérico $(x, y,z)$ definido como:
$$\vec{E}(x,y,z) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 (x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$$
Para facilitar la notación, dejemos que $\vec{n}_{x=-a}$ sea el vector normal unitario saliente de la cara con $x=-a$ y $\Phi_{x=-a}$ el flujo eléctrico a través de esta cara.
Es evidente que:
$$\vec{n}_{x=a} = -\vec{n}_{x=-a} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\\ \vec{n}_{z=d} = -\vec{n}_{z=-d} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\\ \vec{n}_{y=c} = -\vec{n}_{y=b} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}.$$
El teorema de Gauss afirma que:
$$\Phi_{x=-a} + \Phi_{x=a} + \Phi_{y = b} + \Phi_{y = c} + \Phi_{z=-d} + \Phi_{z = +d} = 0,$$ ya que no hay ninguna carga en esta caja.
Es sencillo demostrar que $\Phi_{x=-a} =- \Phi_{x=a}$ y $\Phi_{z=-d} =- \Phi_{z=d}$ . Por lo tanto: $$\Phi_{y = b} + \Phi_{y = c} = 0.$$
Me sale lo siguiente:
$$\Phi_{y = b} = -\int_{-a}^{a} \int_{-d}^{d}\frac{qb}{4\pi \varepsilon_0 (x^2+b^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}dx dz,\\ \Phi_{y = c} = +\int_{-a}^{a} \int_{-d}^{d}\frac{qc}{4\pi \varepsilon_0 (x^2+c^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}dx dz.$$
Introduciendo $$\eta(s) = \int_{-a}^{a} \int_{-d}^{d}\frac{s}{(x^2+z^2+s^2)^{\frac{3}{2}}}dx dz,$$
que tenemos:
$$\Phi_{y = b} = -\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 }\eta(b)\\ \Phi_{y=c} = + \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 }\eta(c).$$
Por lo tanto, para tener $\Phi_{y = b} + \Phi_{y = c} = 0$ necesitamos que $\eta(c) = \eta(b).$ Pero esto suena absurdo, ya que significa que la función $\eta(s)$ debe ser constante.
¿Cuál es el problema de mis pensamientos?
