Me gustaría entender la ley de Gauss para el campo eléctrico sin utilizando el teorema de la divergencia. Ya estoy al tanto de preguntas relacionadas como este .
Considere un cargo qq situado en el origen y una caja como superficie gaussiana definida como: V={(x,y,z):x∈[−a,a],y∈[b,c],z∈[−d,d]},V={(x,y,z):x∈[−a,a],y∈[b,c],z∈[−d,d]},
con a>0a>0 , c>b>0c>b>0 y d>0d>0 . Como se sabe, la carga qq genera un campo eléctrico en un punto genérico (x,y,z)(x,y,z) definido como:
→E(x,y,z)=q4πε0(x2+y2+z2)32[xyz].
Para facilitar la notación, dejemos que →nx=−a sea el vector normal unitario saliente de la cara con x=−a y Φx=−a el flujo eléctrico a través de esta cara.
Es evidente que:
→nx=a=−→nx=−a=[100],→nz=d=−→nz=−d=[001],→ny=c=−→ny=b=[010].
El teorema de Gauss afirma que:
Φx=−a+Φx=a+Φy=b+Φy=c+Φz=−d+Φz=+d=0, ya que no hay ninguna carga en esta caja.
Es sencillo demostrar que Φx=−a=−Φx=a y Φz=−d=−Φz=d . Por lo tanto: Φy=b+Φy=c=0.
Me sale lo siguiente:
Φy=b=−∫a−a∫d−dqb4πε0(x2+b2+z2)32dxdz,Φy=c=+∫a−a∫d−dqc4πε0(x2+c2+z2)32dxdz.
Introduciendo η(s)=∫a−a∫d−ds(x2+z2+s2)32dxdz,
que tenemos:
Φy=b=−q4πε0η(b)Φy=c=+q4πε0η(c).
Por lo tanto, para tener Φy=b+Φy=c=0 necesitamos que η(c)=η(b). Pero esto suena absurdo, ya que significa que la función η(s) debe ser constante.
¿Cuál es el problema de mis pensamientos?
