Encontrar el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt{1 + \sqrt{3}}) : \mathbb{Q}$

Question

Esta es la pregunta 12 del capítulo 6 del libro de Stewart Teoría de Galois . La pista es demostrar primero que el elemento contiguo no es un cuadrado en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ . Eso es fácil. Vea el resto en los comentarios.

Answer 1

Dejemos que $\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$ . Desde $(\alpha^2-1)^2 = 3$ , $$ q(x) = x^4-2x^2-2 $$ es un elemento de $\mathbb{Q}[x]$ que se desvanece en $x=\alpha$ . Sólo tenemos que demostrar que dicho polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ para tener ese $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{3}}):\mathbb{Q}=4$ como se esperaba. Pero $q(x)$ por ejemplo, es irreducible sobre $\mathbb{F}_7$ ya que en $\mathbb{F}_7[x]$ $$ x^7-1\pmod{x^4-2x^2-2}=-(x^3+3x+1)\\ x^{49}-1\pmod{x^4-2x^2-2}=-(x+1). $$ Como alternativa, podemos aplicar simplemente el criterio de Eisenstein con $p=2$ como sugiere DonAntonio para tener esa $q(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Creo que el libro tiene esto $$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\sqrt{3})][\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2\cdot 2$$ en mente.