Expansión a escala múltiple: Coeficientes de variación lenta.

Question

En coeficientes de variación lenta nuestra ecuación diferencial es:

$$y''(t)+k^2(\epsilon t)y(t)=0~\text{ where }~ y(0)=a, y'(0)=b.$$

El libro de texto "Introducción a los métodos de perturbación" dice que todavía tenemos que determinar el oscilador rápido, por lo que consideramos $t_1=f(t,\epsilon)$ y $t_2=\epsilon t$ . Cuando aplicamos la regla de la cadena a estos llegamos a $$ \frac{d}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t_1}+\epsilon\frac{\partial f}{\partial t_2} ; \\ \frac{d^2}{dt^2}=f_t^2\frac{\partial}{\partial t_1}+f_{tt}\frac{\partial}{\partial t_1}+2\epsilon f_t\frac{\partial ^2}{\partial t_1 \partial t_2}+\epsilon^2 \frac{\partial ^2}{\partial t_2^2}.$$ Tras sustituir esto en la ecuación principal, obtenemos $$(f_t^2\partial_{t_1}^2+f_{tt}\partial_{t_1}+2\epsilon \partial^2_{t_1t_2}+\epsilon^2\partial^2_{t_2})y+k^2(\epsilon t)y=0$$

Mi pregunta radica en la ecuación anterior. ¿Cómo decimos que el primer y el último término se equilibran entre sí, es decir, el $f_t^2\partial_{t_1}^2$ y $k^2(\epsilon t)$ ?

Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de si llamaría a esto "equilibrio", pero al introducir una función auxiliar $f$ tienes un grado de libertad en la colección de funciones $k,y,f$ que puede fijarse a cualquier relación funcional. Además, se gana un grado de libertad al dividir las escalas de tiempo. Por lo tanto, la selección de establecer la suma de estos dos términos a cero fija, elimina un grado de libertad y te deja con dos nuevas ecuaciones $$ f^2_t∂^2_{t_1}Y(t_1,t_2)+k(t_2)^2Y(t_1,t_2)=0\\ f_{tt}\partial_{t_1}Y(t_1,t_2)+2\epsilon f_t \partial^2_{t_1t_2}Y(t_1,t_2)+\epsilon^2\partial^2_{t_2}Y(t_1,t_2)=0 $$ El otro grado de libertad se agota estableciendo $f_t(t,ϵ)=k(ϵt)$ para que con $K'=k$ se obtiene $t_1=f(t,ϵ)=K(ϵt)/ϵ$ y por lo tanto $$ Y(t_1,t_2)=c_1(t_2)\cos(t_1)+c_2(t_2)\sin(t_1) $$ Entonces las segundas ecuaciones dan en los coeficientes de $\cos(t_1)$ y $\sin(t_1)$ las condiciones $$ k'(t_2)c_2(t_2)+2k(t_2)c_2'(t_2)+ϵc_1''(t_2)=0 \\ k'(t_2)c_1(t_2)+2k(t_2)c_1'(t_2)-ϵc_2''(t_2)=0 $$ para que en primer orden $c_1(t_2)=\frac{d_1}{\sqrt{k(t_2)}}$ y $c_2(t_2)=\frac{d_2}{\sqrt{k(t_2)}}$ .