Mostrar la continuidad en $(0,0)$ de $f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ para $(x,y)\neq (0,0)$ y $f(0,0)=0$

Question

Mostrar la continuidad en $(0,0)$ de $f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ para $(x,y)\neq (0,0)$ y $f(0,0)=0$ .

Una solución que vi fue escribir

$$\lim_{(x,y)\to 0}x\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\lim_{(x,y)\to 0}x \cdot \lim_{(x,y)\to 0}\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

El término de la izquierda tiende a $0$ y el término de la derecha tiene un valor absoluto menor que $1$ .

Mi pregunta

Originalmente traté de usar coordenadas polares para resolver.

$$f(x,y)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

$$f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}= r\cos\theta \sin\theta$$

Pero no estaba seguro de cómo proceder. No me siento cómodo trabajando en forma polar, pero creo que es obvio que $r\cos\theta\sin\theta \to 0$ como $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ .

¿Es el caso que para $(r\cos\theta,r\sin\theta) \to (0,0)$ debemos tener eso $r \to 0$ desde cuando $\sin\theta=0 \Rightarrow \cos\theta \neq 0$ .

Answer 1

Si no se siente cómodo con las coordenadas polares, su observación

"...y el término de la derecha tiene valor absoluto menor que 1"

basta con demostrar que $\left|x \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right|\leq \left| x \right| \leq \sqrt{x^2+y^2}$ y por lo tanto $f(x,y) \rightarrow0$ como $(x,y)\rightarrow 0$ .

Answer 2

Puede utilizar $|\sin\theta|\leq1$ y $|\cos\theta|\leq1$ para hacer $$r\sin\theta\cos\theta\to0$$ como $r\to0$ . Al igual que las coordenadas de Descartes, aquí tenemos tanto $r\to0$ y $\theta\to0$ para evaluar el límite. Entonces $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{(r,\theta)\to(0,0)}r\cos\theta\sin\theta \to0$$ significa que la función es continua en el origen.

Answer 3

Su argumento es correcto: $(r \cos \theta, r \sin \theta) = (0,0)$ se mantiene si y sólo si $r = 0$ por lo que acercarse al origen en coordenadas polares corresponde efectivamente a dejar $r \to 0$ . Sin embargo, puedes acercarte al origen desde diferentes direcciones, ¡algo con lo que hay que tener cuidado cuando se trabaja en coordenadas polares! El límite $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ existe si y sólo si los límites $$ \lim_{r \to 0} f(r \cos \vartheta(r), r \sin \vartheta(r))$$ existen y están de acuerdo para cada parametrización $\vartheta: (0,1) \to [0,2\pi)$ del ángulo polar.

En tu problema esto funciona: $$ \lim_{r\to 0} f(r \cos \vartheta(r), r \sin \vartheta(r)) = \lim_{r\to 0} \, r \cos \vartheta(r) \sin \vartheta(r) = 0$$ es válida para cada $\vartheta$ desde $\cos$ y $\sin$ están limitados por $1$ .

Si consideramos $g(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ En cambio, las cosas son muy diferentes. Tenemos $$ g(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) = \cos \theta ,$$ así que $$ \lim_{r \to 0} g(r \cos(0), r \sin(0)) = 1 \neq -1 = \lim_{r \to 0} g(r \cos(\pi), r \sin(\pi)) \, .$$ Por lo tanto, el límite $\lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y)$ no existe y no podemos elegir un valor para $g(0,0)$ con el fin de hacer $g$ continua.

Un mejor ejemplo de la cuestión lo proporciona este pregunta. Considere $$ h(x,y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} \, . $$ A primera vista uno esperaría que el límite $0$ en el origen, dada la representación anterior en coordenadas polares. Sin embargo, a lo largo de la trayectoria parabólica $y = x^2$ el límite es igual a $\frac{1}{2}$ , por lo que el límite $\lim_{(x,y) \to (0,0)}h(x,y)$ no existe.

En coordenadas polares esta trayectoria está parametrizada implícitamente por $$\frac{\sin \vartheta(r)}{\cos^2 \vartheta(r)} = r \, $$ o explícitamente por $$ \sin \vartheta(r) = \frac{\sqrt{1+4 r^2}-1}{2r} \, , $$ que no es fácil de detectar. Esto ilustra el hecho de que el uso de coordenadas polares es posible, pero no siempre es aconsejable cuando se trabaja en estos problemas.

Answer 4

También podemos utilizar ese

$$\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \frac{|xy|}{\sqrt{2}\sqrt{|xy|}}=\frac{1}{\sqrt{2}}|xy|^{1/2}$$