¿Cuándo el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es asintóticamente estable?

Question

Dado el sistema $$\mathbf{x}'=A\mathbf{x} $$ donde $A=\begin{bmatrix}a &0 & 4 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2-a & 0 & -3 \end{bmatrix}$

¿En qué intervalo de $a$ es el sistema asintóticamente estable, y para qué valor de $a$ ¿es el sistema estable/inestable, si es que existe tal caso?

Intento

Para que un sistema sea asintóticamente estable, la parte real de todos los valores propios debe ser negativa. $$\Re(\lambda)<0, \: \: \: \text{for all} \: \: \lambda $$

Dado que se trata de un $3\times3$ matriz, utilicé maple para encontrar los valores propios de la matriz del sistema. También traté de usar Maple para resolver el caso de desigualdad para los valores propios, pero creo que no estoy obteniendo resultados correctos.

Los resultados que obtengo de Maple afirman que el sistema es asintóticamente estable cuando $$-8 < a \leq5-4\sqrt{3} $$ Hablé con mis compañeros y me dijeron que este intervalo de $a$ está mal. He publicado mi documento de Maple a continuación. ¿Puede alguien ver lo que va mal?

Answer 1

Estoy de acuerdo con tus compañeros. Simplemente porque el rango indicado significa $a$ debe ser menor que 0, mientras que 0 es una solución factible (raíces en $-\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{23}i$ ). Como sólo la parte real indica la estabilidad, es importante averiguar cuándo la raíz cuadrada se convierte en imaginaria: $$a^2-10a-23=0$$ $$(a-5)^2=48$$ $$a = 5\pm 4\sqrt{3}$$ Conociendo estas raíces, se puede deducir que es menor que cero si: $$5-4\sqrt{3}<a<5+4\sqrt{3}$$ Dentro de este rango, la estabilidad depende totalmente de $ \frac{1}{2}a-\frac{3}{2}$ . de aquí se desprende que el límite superior de $a$ debería ser: $a<3$ . El límite inferior es un poco complicado ya que excede el rango en el que la raíz es imaginaria, pero por suerte eso ya lo ha dado tu calculadora: $a>-8$ que es el valor en el que el segundo valor propio dará 0. Así que el rango real de $a$ es: $$-8<a<3$$

La razón por la que Maple no dio esta respuesta podría tener algo que ver con la parte imaginaria. el rango dado es donde la respuesta no tiene parte imaginaria y es estrictamente menor que 0. No estoy muy familiarizado con Maple, pero tal vez hacer que trate de resolver real(your equation < 0){a} .

Answer 2

A continuación utilizo Maple 2020.1 (la versión actual).

restart;

A := <a,-1,-2-a|0,-1,0|4,0,-3>:

elist := convert(LinearAlgebra:-Eigenvalues(A),list):

map(lprint, elist):
   -1
   1/2*a-3/2+1/2*(a^2-10*a-23)^(1/2)
   1/2*a-3/2-1/2*(a^2-10*a-23)^(1/2)

W := map(L->evalc(Re(L)<0),elist):

map(lprint, W):
   -1 < 0
   1/2*a+1/4*abs(a^2-10*a-23)^(1/2)*(1+signum(a^2-10*a-23)) < 3/2
   1/2*a-1/4*abs(a^2-10*a-23)^(1/2)*(1+signum(a^2-10*a-23)) < 3/2

# solving for all three conditions together
solve(W,a);

        {-8 < a, a < 3}

plot(map(Re,elist),a=-9..4,thickness=1,
     view=-2.75..1/4,size=[500,200]);

# for fun (only), solve each separately

solve(W[1],a); # true for all `a`

                a

solve(W[2],a);

      RealRange(Open(-8), Open(3))

solve(W[3],a);

      RealRange(-infinity, Open(3))