Recursión e inducción en el teorema de Baire

Question

Estoy estudiando el libro de Brézis sobre análisis funcional y acabo de leer el teorema de Baire a continuación:

Entendí la idea de la prueba. Mi problema es formalizarla. Estaba tratando de deducir la existencia de las secuencias $(x_n)$ y $(r_n)$ y sus propiedades utilizando la recursión, la inducción y la elección. Los teoremas que tengo son

Thm. 1 (Recursión): Dejemos que $A$ sea un conjunto, $a \in A \ $ y $\ f: A \to A \ $ sea una función. Entonces existe una secuencia única $\ b = (b_n) : \mathbb{N} \to A \ $ tal que $\ b_0 = a \ $ y $\ b_{n+1} = f(b_n)$ , $\forall n \in \mathbb{N}$ .

Thm. 2 (Inducción): Dejemos que $\ K \subset \mathbb{N} \ $ sea tal que $\ 0 \in K \ $ y, $\forall n \in \mathbb{N}$ , si $\ n \in K$ entonces $\ n+1 \in K$ . Entonces $\ K= \mathbb{N}$ .

Junto con esta versión del axioma de elección:

Axioma (de elección): Dejemos que $F$ sea un conjunto tal que $\ F \neq \varnothing \ $ y $\ \varnothing \notin F$ . Entonces existe una función de elección $\ h : F \to \cup F$ , es decir, $h(P) \in P$ , $\forall P \in F$ .

He intentado deducir la existencia de una secuencia de conjuntos no vacíos $\ (F_n) \in \big[ \wp(X \times \mathbb{R}) \big]^{\mathbb{N}} \ $ utilizando la recursividad y para extraer una secuencia $\ (x_n , r_n) \in F_n \ $ , $\forall n \in \mathbb{N}$ , utilizando la elección. Pero no fui capaz de llegar con una buena función base de recursión $\ f : \wp(X \times \mathbb{R}) \to \wp(X \times \mathbb{R})$ .

Necesito pistas para encontrar esta función o para intentar otro enfoque. Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Yo usaría el axioma de la elección dependiente ( $\mathsf{DC}$ ), una consecuencia más débil del axioma de elección. Sea

$$\mathscr{X}=\{\langle x,r,n\rangle\in X\times\Bbb R^+\times\Bbb N:\operatorname{cl}B(x,r)\subseteq O_n\}\;,$$

y definir una relación $R$ en $\mathscr{X}$ al establecer $\langle x,r,n\rangle\mathrel{R}\langle y,s,m\rangle$ si

• $m=n+1$ ,
• $\operatorname{cl}B(y,s)\subseteq B(x,r)\cap O_m$ y
• $s<\frac{r}2$ .

$\mathsf{DC}$ entonces te da una secuencia $\big\langle\langle x_k,r_k,k\rangle:k\in\Bbb N\big\rangle$ tal que

$$\langle x_k,r_k,k\rangle\mathrel{R}\langle x_{k+1},r_{k+1},k+1\rangle$$

para cada $k\in\Bbb N$ .

Añadido: Puedes adaptar esta idea a tus herramientas. Deje que $I=X\times\Bbb R^+\times\Bbb N$ y para cada $\langle x,r,n\rangle\in I$ dejar

$$A(x,r,n)=\left\{\langle y,s,n+1\rangle\in I:s<\frac{r}2\text{ and }\operatorname{cl}B(y,s)\subseteq B(x,r)\cap O_n\right\}\;.$$

Dejemos que $\mathscr{A}=\{A(x,r,n):\langle x,r,n\rangle\in I\}$ y que $h$ sea una función de elección para $\mathscr{A}$ . Utilice $h$ para definir una función $f:I\to I$ al que se puede aplicar el teorema de recursión para obtener una secuencia adecuada $\big\langle\langle x_n,r_n,n\rangle:n\in\Bbb N\big\rangle$ .

Answer 2

Lo que realmente se necesita es el Principio de las Elecciones Dependientes, lo que significa que hay que proceder con un número contable de elecciones arbitrarias tales que la (n+1)-ésima elección depende de la n-ésima elección, digamos. De hecho, Blair demostró en 1979 que el Teorema de Baire para espacios métricos completos es equivalente al Principio de las Elecciones Dependientes.

Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933-934.