Simplificación de $a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \left[\sum_{k=0}^{\infty}b_k\cdot x^k\right]^n$ donde conozco las expresiones de todos los $a_n$

Question

Tengo esta ecuación: $a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \left[\sum_{k=0}^{\infty}b_k\cdot x^k\right]^n$ donde conozco las expresiones de todos los $a_n$ .

Cómo puedo simplificar la multiplicación de las dos series de potencias sabiendo que una de ellas tiene una exponencial $n$ ?

Gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

Una pista: Considere la _coeficiente multinomial_ como en

\begin{align*} \left(\sum_{k=0}^\infty b_kx^k\right)^n=\sum_{j=0}^\infty\left(\sum_{{k_1+\cdots+k_n=j}\atop{k_1,\ldots,k_n\geq 0}}\binom{j}{k_1,\ldots,k_n}\prod_{l=1}^n b_{k_l}\right)x^j \end{align*}