Prueba $\frac{1}{1+e^x}$ es Lipschitz

Question

¿Cómo puedo demostrar $\frac{1}{1+e^x}$ es Lipschitz utilizando el Teorema del Valor Medio?

Answer 1

$HINT$

$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$ tiene una derivada acotada.

En efecto, $$|f'(x)|=\frac{e^x}{1+2e^x+e^{2x}} \leq \frac{1}{2}$$

Answer 2

Dejemos que $f(x) = \frac{1}{1+e^x}$ .

Obsérvese que a partir de la MVT tenemos $$\left | \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^y}\right| = |f'(x+t(y-x))|\cdot|x-y| $$ para algunos $t\in (0, 1)$ . Pero la derivación de $f$ está acotada, por lo que podemos tomar el límite de la misma (es decir, la constante $M$ tal que $|f(x)|\leq M$ para todos $x$ ) como la constante de Lipschitz. Y así es como se hace en general con este tipo de funciones. Normalmente no se utiliza la MVT, sino que se pasa al proceso de comprobar si la derivada está acotada.