Prueba: En un espacio vectorial topológico, toda vecindad de $0$ contiene una vecindad equilibrada de $0$

Question

Estuve leyendo esta prueba en Rudin 2/e (Th 1.14), pero no pude resolverla. Supongamos que $U$ es una vecindad de $0$ en el espacio vectorial topológico $X$ entonces

Como la multiplicación escalar es continua, existe una $\delta>0$ y hay un barrio $V$ de $0$ en $X$ s.t. $\alpha V\subset U$ siempre que $|\alpha|<\delta$ .

Sé que como la multiplicación escalar es continua, dada cualquier $\delta$ hay un vecindario $V$ de $0$ s.t. $\delta V \in U$ . Pero, ¿cómo puedo asegurar que para cualquier $|\alpha|<\delta$ , $\alpha V\subset U$ ¿todavía pasa? Parece que me he perdido algo bastante obvio, ya que este documento da el mismo argumento, pero parece que no soy capaz de entenderlo. ¿Alguien podría dar una pista? Gracias.

Answer 1

La multiplicación escalar es continua como un mapa $\mathbb{K}\times E \to E$ por lo que para cada barrio $U$ de $0$ Hay barrios $D$ de $0$ en $\mathbb{K}$ y $V$ de $0$ en el espacio vectorial $E$ con $D\cdot V \subset U$ . Cada barrio de $0$ en $\mathbb{K}$ contiene un disco (o un intervalo simétrico, si se trata de espacios vectoriales reales), por lo que podemos suponer $D$ es un disco (intervalo simétrico). Pero entonces $D\cdot V$ está equilibrada.