¿Probabilidad de sacar x o menos dos veces seguidas en varias tiradas de dados?

Question

Si tiro, por ejemplo, 6 dados de veinte caras, de uno en uno, y "fallo" si saco un 10 o menos dos veces en una fila ¿Cómo puedo calcular las posibilidades de éxito/fracaso?

Ejemplo:
6d20, éxito con 11 o más.
Tiro los dados, los resultados en orden son (13, 7, 17, 18, 2, 11). Esto es un éxito porque los dos fallos (7, 2) no fueron lanzados uno tras otro.
Si en cambio saco (15, 4, 8) es un fracaso y dejo de tirar, porque he sacado <11 dos veces seguidas.
¿Cómo puedo calcular las posibilidades de éxito/fracaso? ¿Sobre las 6 tiradas del ejemplo, o sobre cualquier número de tiradas?

EDIT: No soy muy conocedor de las matemáticas y esperaba una explicación relativamente sencilla. Si es posible.

Answer 1

Tenga en cuenta que las posibilidades de sacar un 10 o menos son las mismas que las de sacar un 11 o más. Esto significa que es lo mismo que lanzar una moneda, y perder si sacamos dos colas seguidas. (Piensa que si sacas un 11 -20, es lo mismo que una cruz y si no, cara)

Queremos saber las probabilidades de no obtener nunca dos colas adyacentes.

Si nuestro último giro es una cola que no está después de otra cola, entonces lo llamamos que da miedo porque estamos cerca de perder: una cola más y perdemos.

Si nuestro último lanzamiento fue cara, lo llamamos fácil, ya que significa que no podemos perder en una sola vuelta.

Y, si nuestro lanzamiento más reciente fue una cruz después de otra cruz, lo llamamos pérdida.

Ahora, inicialmente, hay una probabilidad de 50-50 (en su primer lanzamiento) de que salga cara o cruz, lo que significa que podemos ir a un estado fácil o a un estado de miedo.

Desde el estado fácil, hay una probabilidad de 50-50 de terminar en un estado fácil (tirando cara) o de pasar a un estado de miedo (tirando cruz).

Desde el estado de miedo, hay un 50% de posibilidades de acabar en el estado fácil y en el estado de pérdida.

Dejemos que $P(i)$ representan la probabilidad de perder por volteo $i,$ y $S(i)$ representan la probabilidad de que terminemos en un estado de miedo al voltear $i,$ así como $Z(i)$ representando estar en un estado fácil por el giro i.

Tenga en cuenta que $P(i) = \frac{1}{2} S(i-1) + P(i-1)$ porque necesitas conseguir el 50% de posibilidades de sacar una cruz si estás en un paso que da miedo, y si ya has perdido en un paso anterior significa que ya has perdido.

$Z(i) = \frac{1}{2} (Z(i-1) + P(i-1) + S(i-1)),$ ya que en cualquier paso, tenemos la probabilidad de lanzar una cara y alcanzar un estado fácil.

$S(i) = \frac{1}{2}P(i-1).$

$P(1) = 0, S(1) = \frac{1}{2}, Z(1) = \frac{1}{2}.$

Podemos entonces utilizar estas recurrencias y valores iniciales para obtener $P(6),$ que debería ser la probabilidad de que perdamos antes o antes del 6º giro.

Perdón por lo extenso de la respuesta.