¿Cómo saber si una función es sobreyectiva o inyectiva?

Question

Si a uno le dan lo siguiente:

$$A = \{(x, y)\mid x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{Z}, y = \lceil x \rceil\},$$ una relación de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{Z}$ .

¿Cómo podría saber si es inyectiva o sobreyectiva?

He comprobado si era una función, que creo que lo es. Sin embargo, no sé cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Para ver si es sobreyectiva, basta con comprobar si cada elemento $y\in\mathbb Z$ puede aparecer en $A$ . Esto significa:

1. Tome un $y\in \mathbb Z$
2. Encuentre tal $x\in \mathbb R$ que $(x,y)\in A$ .

Por otro lado, si se quiere demostrar que una función es no surjective, basta con encontrar un valor particular de $y$ tal que $(x,y)$ no está en $A$ para cualquier valor $x$ .

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Para la inyectividad, si quieres demostrar la inyectividad, toma dos pares $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ tal que $y_1=y_2$ . Si puede concluir que $x_1=x_2$ entonces la función es inyectiva.

Si quieres demostrar que la función es no inyectiva, basta con encontrar dos valores de $x_1,x_2$ y un valor de $y$ tal que $(x_1,y)$ y $(x_2,y)$ son ambos en $A$ .