$v \times w$ es un mapa bilineal, antisimético y $u \times w =0 \Leftrightarrow $ colineal en el producto tensorial

Question

Este es mi intento para la parte (b):

Definamos: $$\Phi: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 $$ por la siguiente acción: $$\Phi(v \times w) = v \otimes w - w \otimes v$$

Claramente, $\Phi$ es bilineal, ya que

$$\Phi((r_1v_1+r_2v_2) \times w) = (r_1v_1+r_2v_2) \otimes w - w \otimes (r_1v_1+r_2v_2) = r_1(v_1\otimes w - w \otimes v_1) + r_2(v_2\otimes w - w \otimes v_2) = r_1\Phi(v_1\times w) + r_2\Phi(v_2 \times w)$$

El mismo procedimiento se puede aplicar para obtener: $$\Phi(v \times (r_1w_1+r_2w_2)) = r_1\Phi(v\times w_1) + r_2\Phi(v \times w_2)$$

Para demostrar la antisimetría, no estoy seguro si el siguiente argumento hace la prueba correcta. Tengo que si $\Phi(v \times w) = v \otimes w - w \otimes v$ y $\Phi(w \times v) = w \otimes v - v \otimes w,$ entonces debemos tener eso: $$ \Phi(v \times w)= -\Phi(v \times w)$$

Ahora, para la última declaración: $u \times w =0 \Leftrightarrow $ colineal. Lo he hecho:

" $\Leftarrow$ " Deja $<e_1,e_2>$ sea una base para $\mathbb{R}^2$ , entonces si $v,w$ son colineales, tenemos eso: $$v = r_1e_1+r_2e_2$$ $$w = s_1e_1+s_2e_2$$ Entonces: $$v\times w = (r_1e_1+r_2e_2) \otimes (s_1e_1+s_2e_2)$$ Luego, utilizando las reglas del tensor, manipulo dicha expresión para obtener: $$u\times w = r_1s_1(e_1\otimes(e_1-e_1))+ r_1s_1(e_1\otimes(e_2-e_2)) + r_2s_2(e_2\otimes(e_1-e_1)) + r_2s_2(e_2\otimes(e_2-e_2)) = 0$$

" $\Rightarrow$ " Tengo que demostrar que si $v \times w =0 \Rightarrow v,w$ colineal, por lo que tengo: $$v \times w =0 \Rightarrow v \otimes w = w \otimes v$$ Por lo tanto, según la parte (a), existen algunas $\lambda \in \mathbb{R}$ , de tal manera que $w =\lambda v$ . En otras palabras, es un múltiplo de $v$ , por lo que son colineales.

Mis preguntas son:

1) ¿Cómo se demuestra la antisimetría?

2) ¿Es este el enfoque correcto?

3) ¿Cuál es el producto similar utilizado en el Cálculo III?

Answer 1

En primer lugar, algo de notación: el símbolo de operación $\times$ se utiliza principalmente para el producto cartesiano de conjuntos / espacios vectoriales, y los elementos de $A\times B$ suelen escribirse como simples pares $(a,b)$ de elementos de $A$ y $B$ y no como $a\times b$ .

Es un poco desafortunado que la operación definida en el ejercicio también se denote por $\times$ y también puede resultar engañoso que la notación habitual para el producto tensorial sea $a\otimes b$ para un elemento de $A\otimes B$ .

Para aclararlo, querías decir $\Phi(v,w):=$ lo que definieron como $v\times w$ es decir $=v\otimes w\,-\,w\otimes v$ .

1. La antisimetría es inmediata a partir de la definición, compárese $$\Phi(v,w)=v\otimes w\ -\ w\otimes v \\ \Phi(w,v)=w\otimes v\ -\ v\otimes w\,.$$ (Obsérvese que la antisimetría también se deriva de la bilinealidad y $\Phi(v,v)=0$ para todos $v$ .)
2. La mayoría de las veces sí. Para la parte de la colinealidad, has complicado demasiado la parte fácil: $v,w$ son colineales si $w=\lambda v$ para algunos $\lambda\in\Bbb R$ ou $v=0$ .
   Supongamos que $w=\lambda v$ entonces $\Phi(v,w)=v\otimes(\lambda v)-(\lambda v)\otimes v=\lambda\,v\otimes v - \lambda\,v\otimes v=0$ .
   La otra dirección es simplemente el ejercicio a), como has señalado.
3. Le site producto cruzado de vectores en $\Bbb R^3$ tiene estas propiedades.