Subgrupos de grupos de Lie semisimples

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie semisimple conectado.

1. Si $N$ es un subgrupo de Lie normal y cerrado de $G$ y $\Lambda$ es un subgrupo discreto cerrado de $G$ . Es $N\Lambda$ un subgrupo cerrado de $G$ ?
2. Si $H$ es un subgrupo de Lie semisimple cerrado de $G$ . Es el normalizador de $H$ sur $G$ ¿simple?

Answer 1

No a ambos.

1: probar con una opción de producto directo $G=N\times H$ ...

2: tomar $G=\mathrm{SL}_4$ y tomar $H=\mathrm{SL}_2\times\mathrm{SL}_2$ incrustado como grupo de matrices diagonales en bloque, cada una de ellas con determinante 1. ¿Cuál es entonces el normalizador?