¿Es la inversa de cualquier función elemental asintótica a alguna función elemental?

Question

¿Es la inversa funcional de cualquier función elemental asintótica a alguna función elemental? Por ejemplo, la de Lambert $W(z)$ es asintótica a $ln(z)$ . Ver http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

Otro ejemplo es la inversa de $z^5 + z$ ~ $z^{\dfrac{1}{5}}$ .

También la inversa de $-(ln(2 sinh(z)/z) - z)$ ~ $e^z$

etc.

Mi motivación se basa en ideas de inducción. Una pregunta mucho más débil es si esto es cierto para la inversa de las funciones meromorfas elementales.

Answer 1

Muy interesante.

Creo que se puede demostrar recursivamente, pero será un poco largo, así que no lo haré aquí.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que esto es cierto para todas las funciones elementales básicas (polinomios, $\exp$ , $\tanh$ , ...). Hay que encontrar para cada uno una asíntota de su función inversa ( $x^{\frac{1}{degree}}$ para los polinomios, $\ln$ para $\exp$ , ...).

Entonces, para cualquier forma de construir una función elemental (unaria y binaria), encuentre también una asíntota elemental.

Ejemplo :

• Consideremos $f$ una función elemental inyectiva cuya inversa $f^{-1}$ tiene por asíntota $a$ que es elemental. Entonces, $f^n $ también es elemental e inyectiva. Observemos $g = (f^n)^{-1} $ . Prueba $g$ es asintótica a $a^{\frac{1}{n}}$ o alguna otra función elemental que se construya con $a$

• Consideremos $f$ y $g$ dos funciones elementales inyectivas cuyas inversas $f^{-1}$ y $g^{-1}$ tienen por asíntota respectivamente $a$ y $b$ que son elementales. Si $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ entonces (Creo que es $a$ pero pruébalo) $a$ es asintótica a $(f+g)^{-1}$ , si $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ Entonces...

• y así sucesivamente

Una vez que haya hecho todos estos casos, habrá terminado.

Si no puede demostrar un paso (pero dudo que ocurra), puede poner de relieve un caso para el que no es cierto. Pero aun así, sabrás que es cierto para muchos casos de funciones elementales