La longitud del arco y el negocio del retroceso

Question

Siempre que haya alguna curva parametrizada en el espacio a lo largo de la cual una partícula viaja en el tiempo, como $\vec{r}(t) = (x(t), y(t))$ . ¿La fórmula de la longitud de arco tiene en cuenta el hecho de que la partícula puede o no retroceder?

es decir, ¿se $\int_{0}^{t} |\vec{r}\prime(t)| ds$ dan la longitud de la curva o la distancia que recorrió la partícula, que puede ser mayor que la longitud de la curva (si la partícula es capaz de retroceder).

Me parece que desde $|\vec{r}\prime (t)|$ es la velocidad de la partícula en el momento t, que sería la distancia que recorrió la partícula incluyendo el retroceso. ¿Cómo obtendría entonces una longitud pura de la curva en sí?

Answer 1

He aquí un ejemplo sencillo que muestra que la integral da la total distancia recorrida. Consideremos la integral de línea a lo largo del segmento de línea en el plano real desde el origen hasta $(1,1)$ . Desde $(0,0)$ a $(1,1)$ , usted tiene $\vec{r}(t)=\langle t,t\rangle$ con $t\in[0,1]$ . En el sentido inverso, tendría $\vec{r}(t)=\langle 1-t,1-t\rangle$ con $t\in[0,1]$ y la partícula comienza en $(1,1)$ y viaja a $(0,0)$ . Denotaré el primer camino por $\mathcal{C}$ y su reverso por $-\mathcal{C}$ .

Calcula la integral de línea: $$\int\limits_\mathcal{C}\,\mathrm{d}\vec{r}=\int_0^1\sqrt{1^2+1^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt2$$ Y en sentido inverso, $$\int\limits_\mathcal{-C}\,\mathrm{d}\vec{r}=\int_0^1\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt2$$ Consideremos ahora ambos caminos tomados al mismo tiempo, de modo que la partícula comienza en el origen, viaja a $(1,1)$ , luego retrocede y vuelve al origen. Este camino compuesto (que denoto por $\mathcal{C}+(-\mathcal{C})$ ) puede parametrizarse mediante $\vec{r}(t)=\left\langle 1-2\left|\frac{1}{2}-t\right|,1-2\left|\frac{1}{2}-t\right|\right\rangle$ con $t\in[0,1]$ . La distancia recorrida es entonces $$\int\limits_{\mathcal{C}+(-\mathcal{C})}\,\mathrm{d}\vec{r}=\int_0^{1/2}\sqrt{2^2+2^2}\,\mathrm{d}t+\int_{1/2}^1\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\,\mathrm{d}t=2\sqrt2$$ mientras que intuitivamente se esperaría que el red distancia recorrida para ser $0$ . La noción de "longitud de arco" tendría que definirse cuidadosamente: ¿se refiere a la distancia neta o total?

Resumiendo: Si la partícula no cambia de dirección, entonces las distancias netas y totales son las mismas. Si cambia de dirección, entonces la neta y la total son diferentes, y hay que especificar cuál de ellas equivale a la longitud de la trayectoria.