Demuestre que el siguiente conjunto está conectado

Question

Para cualquier $x \in \Bbb R^n$ ¿Cómo puedo demostrar que el conjunto $B_x := \{{kx\mid k \in \Bbb R}$ Está conectado. También hay que concluir que $\Bbb R^n$ está conectado. Estaba pensando en empezar suponiendo que el conjunto no es conexo. $U,V$ relativamente abierto tal que $\varnothing =U \cap V$ y $E=U \cup V$ ??

Answer 1

Pista: la imagen de un conjunto conexo bajo un mapa continuo es conexo. Consideremos $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ definido por $f(k)=kx$ .

Answer 2

Puede ver que $B_x$ está conectada por un camino, por lo tanto, está conectada. También: $$\Bbb R^n = \bigcup_{x \in \Bbb R^n}B_x, \quad \bigcap_{x \in \Bbb R^n}B_x = \{0\} \neq \varnothing.$$ Por lo tanto...

Answer 3

Demostrar que está conectada por un camino demostrando que cada punto de $B_x$ está conectada a la ruta con $\vec 0$ .