Representar un espacio vectorial como una suma de subespacios

Question

En un libro de álgebra lineal que estoy leyendo ahora, había el siguiente ejercicio:

Dejemos que $W\subseteq V$ sea un subespacio del espacio vectorial $V$ . ¿Existen siempre dos subespacios $W_1,W_2\subseteq V$ tal que:

1. $W_1+W_2=V$

2. $W_1\cap W_2=W$

3. $W_1\neq V,W_2\neq V$

La respuesta es claramente no si permitimos $W=V$ pero incluso sin ella podemos encontrar contraejemplos, por ejemplo $W=\Bbb R\times\{0\},V=\Bbb R^2$ .

La propiedad crítica del ejemplo anterior es que no hay espacios "intermedios", es decir, si $W\subseteq W'\subseteq V$ entonces $W'=W$ ou $W'=V$ . Empecé a preguntarme si esta es una condición equivalente al fallo de la condición en el problema, y descubrí que es el caso. A continuación presento una prueba de este hecho, que sin embargo hace un fuerte uso del axioma de elección (en la existencia de bases).

Mi pregunta ahora es:

¿Puede demostrarse la equivalencia que expongo y demuestro a continuación sin apelar al axioma de elección?

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Para $W$ subespacio de $V$ los siguientes son equivalentes:

1. Existen subespacios $W_1,W_2$ que satisfacen los 1-3 anteriores

2. Existe un subespacio propio de $V$ conteniendo adecuadamente $W$ .

Prueba: 1 $\Rightarrow$ 2: Reclamo $W_1$ es un subespacio propio. Es evidente que $W\subseteq W_1\subsetneq V$ . Si $W_1=W$ entonces $V=W_1+W_2=W+W_2=W_2$ como $W\subseteq W_2$ Pero esto es una contradicción.

2 $\Rightarrow$ 1: Que $W\subsetneq W_1\subsetneq V$ . Dejemos que $B_1$ ser cualquier base de $W$ , $B_2$ cualquier base de $W_1$ que contiene $B_1$ y $B_3$ cualquier base de $V$ que contiene $B_2$ . Definir $W_2=\text{span}((B_3\setminus B_2)\cup B_1)$ . Es sencillo ver que $W_1,W_2$ satisfacen las propiedades que deseamos.

Answer 1

Según esta respuesta en MO, es consistente con ZF que exista un espacio vectorial $V$ que no es $\leq 1$ -y no tiene una descomposición de suma directa no trivial. Tomando $W=0$ obtenemos un contraejemplo a su pregunta. (Obsérvese que, en términos más generales, su pregunta es equivalente a preguntar si el cociente $V/W$ admite una descomposición de suma directa no trivial).

Answer 2

Por cada $\kappa$ es coherente con $\sf DC_\kappa$ que existe un espacio vectorial $V$ (sobre un campo fijo, pero cualquiera) tal que:

1. Si $W\subseteq V$ es un subespacio propio si y sólo si $W$ tiene una base de tamaño $<\kappa$ .

2. $V$ no es el lapso de cualquier $\kappa$ vectores.

Esto amplía el resultado de Lauchli al que apela Eric Wofsey. Este es un resultado de mi tesis de maestría.

En esta situación cualquier subespacio propio de $V$ tiene una extensión por un vector más que es, por tanto, un subespacio propio de $V$ todavía, pero no existe una descomposición del espacio en dos subespacios cualesquiera distintos de cero. Curiosamente, un espacio vectorial de este tipo no tendrá funcionales no nulos y no puede ser topologizado de una manera no trivial (y ciertamente no puede hacerse normado).