Nota: para ilustrar el movimiento de la almohadilla más claramente, hice un video .
Que la almohadilla tenga un radio $R$ .
Imagina que miras la almohadilla desde arriba. El bebé está a la derecha, gateando en sentido contrario a las agujas del reloj.
El centro de masa del sistema (bebé + almohadilla) no puede moverse. En la imagen siguiente, el círculo verde representa la posición inicial de la almohadilla. La posición inicial del bebé está marcada con una flecha que apunta en la dirección de su movimiento. $C$ es el centro de la almohadilla, apuntando en su dirección de movimiento (opuesta a la del bebé por conservación del momento). $M$ es el centro de masa del sistema. $d = R\frac{m}{m+M}$ es la distancia del centro de la almohadilla al centro de masa del sistema.
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A medida que pasa el tiempo, el bebé se desplaza por el borde, y el cojín de lirio se mueve para quedar perfectamente frente al bebé. Esto asegura que el centro de masa no se mueva. Como la longitud $d$ es fijo, $C$ debe permanecer siempre a la misma distancia de $M$ Así que $C$ debe moverse en un círculo alrededor de $M$ . El bebé se mueve en otro círculo de radio $R-d$ para que la distancia entre el centro de la almohadilla y el bebé permanezca $R$ . Podemos dibujar las trayectorias del punto $C$ y el bebé, y añadir un radio, así:
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Juntos, el bebé y el centro de la almohadilla sólo tienen un grado de libertad. Cualquiera de ellos puede elegir estar en un punto determinado de su trayectoria, pero el otro se ve obligado a estar enfrente. Describamos sus posiciones mediante un ángulo $\theta$ de la horizontal. Para mostrar esto, voy a mover el bebé un poco hacia arriba y dibujar en $\theta$ .
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El lirio tiene un grado más de libertad: su rotación. Llamemos a su rotación respecto al agua (respecto al norte) $\phi$ .
El momento angular total del sistema es cero. Hay contribuciones del momento angular de traslación de la almohadilla y del bebé, y del momento angular de rotación de la almohadilla. Esto da como resultado
$$Md^2\dot{\theta} + m(R-d)^2\dot{\theta} + \frac{MR^2}{2}\dot{\phi} = 0$$
Simplificando el álgebra con la expresión de $d$ y, a continuación, integrando en el tiempo y utilizando la condición inicial $\phi(0) = \theta(0) = 0$ obtenemos
$$\phi = \frac{-2m}{m+M}\theta$$
$\phi$ es lo que buscamos, pero queremos saber $\phi$ después de que el bebé haya gateado lo suficiente como para volver a su punto de partida. El signo menos en $\phi$ indica que la almohadilla gira en sentido contrario a la rotación de la almohadilla y del bebé alrededor del centro de masa.
Para encontrar $\phi$ , tenemos que utilizar la información sobre la cantidad total que el bebé se arrastra. Introducir un nuevo ángulo $\alpha$ que representa cuánto ha gateado el bebé alrededor de la almohadilla desde el punto de vista de la almohadilla - hemos terminado cuando el bebé llega a $\alpha = 2\pi$ .
La velocidad real del bebé (en relación con el agua) es $(R-d)\dot{\theta}$ . Otra forma de calcular esto es encontrar la velocidad del bebé en relación con la almohadilla, y luego añadir la velocidad de la almohadilla en relación con el agua. No necesitamos preocuparnos por los vectores porque todo el movimiento es tangente a la trayectoria del bebé. Esto nos da
$$(R-d)\dot{\theta} = R\dot{\alpha} + R \dot{\phi} - d\dot{\theta}$$
( nota: Originalmente omití el término $R \dot{\phi}$ (lo que llevó a que la respuesta inicial fuera errónea) Esto se simplifica a
$$\theta = \alpha + \phi$$
de nuevo utilizando la condición inicial $\theta(0) = \alpha(0) = 0$ . Queremos $\alpha = 2\pi$ Así pues, el conjunto $\theta = 2\pi + \phi$ . Después de simplificar, esto da la respuesta final
$$\phi = \frac{-4\pi m}{3m+M}$$
