En Demostración intuitiva/directa de que un rectángulo dividido en rectángulos con al menos un lado entero debe tener a su vez un lado entero Hice una pregunta sobre la demostración intuitiva de que un rectángulo con lados paralelos al eje dividido en subrectángulos debe tener una longitud lateral entera si todos los subrectángulos tienen una longitud lateral entera. Pero ahora me pregunto si hay una generalización para los hipercajas en ${\mathbb R}^d$ . Sé que si un hyperbox $R$ se divide en hipercajas $R_1,\ldots,R_n$ de manera que cada $R_i$ tiene al menos una longitud de lado entera, entonces $R$ tiene al menos una longitud de lado entera. Hay al menos dos pruebas posibles, que van por el mismo camino que las pruebas para los rectángulos dadas en el otro post. Sin embargo, también es cierto que si cada $R_i$ tiene $d$ lados enteros (es decir, todos los lados son enteros), entonces $R$ también debe tener $d$ lados enteros. Esto es trivial de demostrar. Así que ahora me pregunto, ¿qué pasa si cada $R_i$ tiene $k$ lados enteros, donde $1 < k < d$ ? ¿Podemos demostrar que $R$ tiene $k$ ¿lados enteros? La prueba en términos de integrales complejas para $k=1$ parece sugerente. La prueba señala que $\int_R \prod_j e^{2 \pi i x_j} dx_j = 0$ si y sólo si $R$ tiene un lado entero. Por lo tanto, si todos los $R_i$ tienen un lado entero, entonces la integral es $0$ sobre cada $R_i$ por lo que también $0$ en $R$ . Intuitivamente, para $k > 1$ la integral no es sólo $0$ pero también $0$ "de orden $k$ ", por lo que si todos $R_i$ tienen $k$ lados enteros entonces parece que $R$ también debería, porque la suma de "ceros de orden $k$ " debe dar cero de orden al menos $k$ y "cero de orden $k$ "para la integral debe corresponder a tener $k$ lados enteros. ¿Puede alguien hacer esto riguroso, por ejemplo, con infinitessimales, o dar otra prueba, o un contraejemplo donde la conjetura para $d > k > 1$ es falso?
Respuestas
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Una idea para una prueba por inducción: (no soy muy bueno visualizando $(d-1)$ -secciones transversales de $d$ -hiperrectángulos, por lo que puede haber errores simples).
Supongamos que para todos los $1 \leq l \leq d-1$ Cada uno de ellos $d-1$ -de la caja de hipertexto dividida en cajas de hipertexto con al menos $l$ longitudes de lado enteras tiene al menos $l$ longitudes de lado enteras. Consideremos un $d$ -hipercaja de dimensiones $R$ que está dividido en hipercajas con al menos $k$ longitudes de lados enteros. Si $R$ tiene como máximo $k-1$ longitudes de lado enteras, podemos tomar una intersección de $R$ y un $(d-1)$ -hiperplano dimensional $T$ de tal manera que el $(d-1)$ -hipercaja de dimensiones $R'$ tiene como máximo $k-2$ longitudes de lados enteros. Por otro lado, la partición $d$ -Hyperboxes $R_i$ que se cruzan $T$ convertirse en $d-1$ -Hyperboxes $R'_i$ que forman una partición de $R'$ y tener al menos $k-1$ longitudes de lado enteras, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $R$ tiene al menos $k$ longitudes de lados enteros.
Los casos límite (por ejemplo $k=1$ para cada $d$ ) deben resolverse por separado.
Creo que he probado si eso $R$ tiene al menos $k$ lados enteros entonces
$$\lim_{\delta \to 0^+} \frac{\int_{(1+\delta)R} \prod_j e^{2 \pi i x_j} dx_j}{\delta^k} = L$$
donde $L$ es alguna constante finita, y si $R$ tiene $k-1$ o menos lados enteros entonces $L = \infty$ . Por lo tanto, si $R$ se divide en hipercajas $R_1,\ldots,R_n$ con $k$ lados enteros cada uno, entonces el límite es finito sobre cada $R_i$ y, por tanto, el límite también es finito sobre $R$ Así que $R$ tiene al menos $k$ lados enteros.
