Estirar una elipse a lo largo del eje mayor o menor

Question

Consideremos la elipse dada por:

$$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0. $$

Cuál es la ecuación de una elipse que tiene los ejes mayor y menor iguales a $p$ veces la longitud de los ejes mayor y menor de la elipse anterior.

Mi intento es el siguiente: Podemos eliminar la rotación, aumentar la longitud del eje y luego volver a rotar. Un ejemplo de rotación se da a continuación:

Girar una sección cónica para eliminar la $xy$ término .

Me pregunto si hay una intuición menos complicada en este problema o una forma menos complicada.

Answer 1

Refiriéndose a los resultados estándar aquí el centro viene dado por

$$(h,k)= \left( \frac{2CD-BE}{B^2-4AC}, \frac{2AE-BD}{B^2-4AC} \right)$$

y la cónica transformada es

$$\frac{A+C \color{red}{\pm} \sqrt{(A-C)^{2}+B^{2}}}{2} X^2+ \frac{A+C \color{red}{\mp} \sqrt{(A-C)^{2}+B^{2}}}{2} Y^2+ \frac {\det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{pmatrix}} {\det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \\ \end{pmatrix}}=0$$

Es simplemente volver a escalar el término constante $F$ Es decir

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+\color{blue}{F'}=0$$ donde

$$p^2 \det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & \color{blue}{F'} \end{pmatrix}$$

En la solución,

$$\color{blue}{F'}= \frac{1} {\det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \\ \end{pmatrix}} \left[ \frac{AE^2+CD^2-BDE}{4}+p^2 \det \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{pmatrix} \right] $$

Answer 2

Este efecto se obtiene reescalando el eje de coordenadas por el factor $p$ y la ecuación se convierte en

$$ A\frac{x^2}{p^2} + B\frac{xy}{p^2} + C\frac{y^2}{p^2} + D\frac{x}{p} + E\frac{y}{p} + F =0. $$

Si el centro debe permanecer inalterado, traslade el centro al origen (el centro se encuentra resolviendo $2Ax+By+F=0,Cx+2Dy+E=0$ ), dilatar y traducir de nuevo.

La transformación combinada es

$$x\to\frac{x-x_c}p+x_c,\\y\to\frac{y-y_c}p+y_c.$$