Ejemplos para el teorema de la no naturalidad de los coeficientes universales

Question

¿Alguien tiene buenos ejemplos de un espacio $X$ y un mapa $f: X \to X$ para que $f_*: H_*(X) \to H_*(X)$ es la identidad pero (por ejemplo) $f_*: H_*(X; \mathbb{F}_2) \to H_*(X; \mathbb{F}_2)$ ¿no es la identidad?

Editar: Como se menciona en los comentarios, $f_*$ es un isomorfismo en la homología mod-2, pero no veo por qué tiene que ser la identidad. Más precisamente, la secuencia exacta $$ C(X; \mathbb{Z}) \overset{\times 2}{\longrightarrow} C(X; \mathbb{Z}) \longrightarrow C(X;\mathbb{Z}/2) $$ da un triángulo exacto en homología, que a su vez induce una filtración de 2 pasos en $H_*(X; \mathbb{Z}/2)$ (donde un paso es la imagen del mapa $H_*(X;\mathbb{Z}) \to H_*(X;\mathbb{Z}/2)$ ). La suposición de que $f_*$ es la identidad en la homología integral implica que es la identidad en el espacio graduado asociado a esta filtración, pero eso aún no implica que sea la identidad.

Me encontré con un fenómeno similar en el contexto de la homología de Heegaard Floer, con los anillos $(\mathbb{Z}/2)[U]$ y $\mathbb{Z}/2$ interpretando los papeles de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/2$ .

Answer 1

Para ampliar mi comentario, dejemos $M = \mathbf{R}P^2$ sea el espacio de Moore con homología (reducida) concentrada en la dimensión $1$ . Sea $f:M \to \Sigma M$ sea el mapa $$ M \to S^2 \to \Sigma M $$ dado por el colapso de la $1$ -esqueleto de $M$ y luego incluir la celda inferior en $\Sigma M$ . Este mapa induce $0$ en $\tilde H_\ast({-};\mathbf{Z})$ por razones de dimensión. Sin embargo, el mapa $f$ es un isomorfismo en $H_2({-};\mathbf{Z}/2)$ esto se deduce de las largas secuencias exactas $$ \dotsb \to H_2(S^1;\mathbf{Z}/2) \to H_2(M;\mathbf{Z}/2) \to H_2(S^2;\mathbf{Z}/2) \to \dotsb $$ y $$ \dotsb \to H_2(S^2;\mathbf{Z}/2) \to H_2(\Sigma M;\mathbf{Z}/2) \to H_2(S^3;\mathbf{Z}/2) \to \dotsb .$$ Este es un ejemplo de "no naturalidad".

Para obtener un auto-mapa de un espacio $X$ que es la identidad en $H_\ast(X;\mathbf{Z})$ pero no en $H_\ast(X;\mathbf{Z}/2)$ seguimos la sugerencia de Tyler: dejemos que $X = \Sigma M \vee \Sigma^2 M$ . Desde $X$ es un co- $H$ -podemos añadir mapas en $[X,X]$ . Sea $g:X\to X$ sea la suma de $1_X$ y el mapa $$ X \to \Sigma M \xrightarrow{\Sigma f} \Sigma^2 M \to X $$ donde el primer mapa se colapsa $\Sigma^2 M$ y el tercer mapa es la inclusión de $\Sigma^2 M$ . El mapa inducido en homología es $1 + \Sigma f_\ast$ . En $H_\ast(X;\mathbf{Z})$ Esto es $1$ . Sin embargo, en $H_3(X;\mathbf{Z}/2)$ el mapa $g$ no es la identidad, ya que $\Sigma f_\ast$ es distinto de cero. Si fijamos la base de $H_3(X;\mathbf{Z}/2)$ dada por la descomposición en cuña de $X$ entonces $g_\ast$ está representada por la matriz

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Answer 2

En cuanto a la cuestión análoga para la cohomología: Existe un homeomorfismo de la botella de Klein a sí misma que induce el mapa de identidad en cohomología integral pero no en mod $2$ cohomología.

Este ejemplo es el doble de Spanier-Whitehead para el $S^2\vee \mathbb RP^2$ variante del ejemplo de Sam.

Para un ejemplo de un mapa que induce la identidad tanto en homología integral como en cohomología integral, pero no en mod $2$ (co)homología, es necesario utilizar un grupo de homología que no esté finitamente generado.

En el ejemplo de Sam (mapa de $\mathbb RP^2\vee \Sigma \mathbb RP^2$ a sí mismo) el mapa es cero tanto en la homología integral como en la cohomología integral.

Answer 3

Aquí hay otra solución; es realmente la misma que dan Sam y Tom, pero con un sabor más "geométrico".

Empieza con la 2-esfera unitaria $S^2\subset \def\R\mathbb{R}\R^3$ y que $r: S^2\to S^2$ se da por la reflexión a través de la $xz$ -plano ( $r(x,y,z)=r(x,-y,z)$ ). Esto pasa a un auto-mapa $f: \R P^2\to \R P^2$ en el cociente; lleva el subespacio $\R P^1\subset \R P^2$ a sí mismo, que estoy pensando como el cociente del círculo en el $xy$ -Avión. En otras palabras, $f$ es un mapa celular, con respecto a la filtración "habitual" de CW $\R P^0\subset \R P^1\subset \R P^2$ . Sobre el "complejo de la cadena celular" de $\R P^2$ el mapa $f$ es el grado $-1$ en las celdas de la dimensión $1$ y $2$ .

Ahora dejemos que $X=\R P^2\cup_{\R P^1} \R P^2$ , obtenida al pegar dos planos proyectivos a lo largo de una circunferencia. Sea $g:X\to X$ sea el auto-mapa que (i) envía el primer $\R P^2$ a la segunda $\R P^2$ por el mapa $f$ (ii) envía el segundo $\R P^2$ a la primera $\R P^2$ por el mapa $f$ y por lo tanto (iii) envía el común $\R P^1$ a sí mismo por el mapa $f|\R P^1$ .

Desde $g$ es un mapa celular, es fácil calcular su efecto en el complejo de cadenas celulares de $X$ Es un grado $-1$ en el $1$ -célula, y cambia los dos $2$ -células entre sí por grado $-1$ mapas. Así que es la identidad en $H_*(X;\def\Z\mathbb{Z}\Z)$ , ya que $H_1(X;\Z)=\Z/2$ y la "cadena celular" $(1,-1)$ que genera $H_2(X;\Z)=\Z$ es claramente fija; pero no es la identidad en $H_2(X;\Z/2)=\Z/2\oplus \Z/2$ como la conmutación del $2$ -células es visible aquí.

(El generador de $H_2(X;\Z)$ es en realidad la imagen de un mapa $q:S^2\to X$ que se obtiene pegando los mapas característicos de los dos $2$ -células juntas, y $fq$ difiere de $q$ exactamente por una rotación de 180 grados de la esfera (y así $q$ y $fq$ son homotópicos). Esto también demuestra que $X$ es establemente equivalente a $S^2\vee \R P^2$ .)