Endomorfismos que conmutan con un endomorfismo específico no diagonalizable

Question

Dejemos que $E=M_n(\mathbb{R}), A,B \in E -\{0\}$ . Definimos $f \in \mathcal{L}(E)$ por: $$\forall M \in E, f(M)=M+tr(AM)B$$

1. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que $f$ es diagonalizable.
2. ¿Qué es? $\dim C$ , donde $C=\{g \in \mathcal{L}(E) | f \circ g = g \circ f \}$ ?

Mi intento:

1. Quería cancelar $f$ con un polinomio de segundo grado. Por lo tanto, he calculado: $$f^2(M)=f(M)+tr(AM)f(B)=f(M)+tr(AM)B+tr(AB)tr(AM)B$$ $$\Rightarrow f^2(M)-2f(M)=tr(AB)tr(AM)B-M$$ $$\Rightarrow f^2(M)-2f(M)-tr(AB)f(M)=-tr(AB)M-M$$ $$\Rightarrow f^2(M)-2f(M)-tr(AB)f(M)+tr(AB)M+M=0$$ Por lo tanto, $P(X)=X^2-(2+tr(AB))X+(1+tr(AB))$ satisface $P(f)=0$ . Calculemos el discriminante de este polinomio. $$\Delta = 4+4tr(AB)+tr(AB)^2-4-4tr(AB)=tr(AB)^2$$ Este polinomio tiene al menos una raíz real, y $f$ es diagonalizable si $\Delta \neq 0$ . Así que: $$f \text{ diagonalizable} \Leftrightarrow tr(AB) \neq 0$$

2. Aquí es donde las cosas se ponen más difíciles para mí. Asumo que $f$ es diagonalizable. Las raíces del polinomio, que son los valores propios de $f$ son: $$\lambda_1=1 \text{ and } \lambda_2=1+tr(AB)$$ Ahora, vamos a encontrar la dimensión de los eigenspaces. $$M \in E_{\lambda_1} \Leftrightarrow f(M)=M \Leftrightarrow tr(AM)=0$$ $$M \in E_{\lambda_2} \Leftrightarrow f(M)=M+tr(AB)M \Leftrightarrow M=xB, x \in \mathbb{R}$$ Obtenemos $\dim E_{\lambda_1}=n^2-1$ (es un hiperplano) y $\dim E_{\lambda_2}=1$ . Ahora, si tenemos $g \in C$ sabemos que podemos encontrar una base de diagonalización para ambos $f$ y $g$ . No estoy seguro de cómo formalizar mi idea, pero $g$ se diagonaliza con $2$ los bloques diagonales correspondientes a los espacios eigénicos $E_{\lambda_1}$ y $E_{\lambda_2}$ . Si observamos $g_1$ y $g_2$ los endomorfismos inducidos en estos subespacios, la dimensión del subespacio de posibles endomorfismos para $g_1$ y $g_2$ son respectivamente $(n^2-1)^2$ y $1$ . Así que, $\dim C$ debe ser $(n^2-1)^2+1$ ¿verdad?

¿Alguien podría ayudarme a aclarar las cosas en el caso diagonalizable, y tiene alguien una idea de cómo proceder si $f$ es no diagonalizable (es decir $tr(AB)=0$ )? Gracias de antemano.

Answer 1

1/ Para la primera pregunta, su resultado es correcto, aunque, su justificación en el caso $Tr(AB)=0$ no está. Tienes que demostrar que NO hay ningún polinomio con raíces distintas $P$ tal que $P(f)=0$ . Bueno, usted hizo $99$ por ciento del trabajo ya que encontraste un polinomio de grado 2 con una raíz doble, y puedes demostrar fácilmente que ningún polinomio de grado 1 encaja (tendrías f~identidad, que no es el caso (considera $f(A^T)\ne A^T$ )).

2/ En el caso diagonalizable, tu justificación me parece correcta. Mira esta pregunta, que da una visión general del caso general : Espacio de matrices que conmutan con una matriz dada La pregunta enlaza con una muy buena referencia (en francés) con una prueba.

3/ Sin embargo, en el caso general, esto es un poco más sutil y encontrará más información en la respuesta a esta pregunta Calcular la dimensión de un espacio vectorial de matrices que conmutan con una matriz B dada, . El tamaño de este espacio está muy relacionado con la forma de Jordan de la matriz.

Aplicado a tu problema en concreto, el tamaño del mayor bloque de Jordan debería ser 2, ya que es la multiplicidad del valor propio 1 en el polinomio mínimo. Así que hay una base en la que la matriz de $f$ es la matriz de identidad (en $M_{n^2}(\mathbb{R})$ con un extra añadido en la última columna justo encima de la diagonal. Denotaré esta matriz como $F = I + \delta_{p-1,p}$ , donde $p=n^2$ . Por lo tanto, la ecuación (matricial) $0 = GF-FG$ se reduce a $\forall i,j, G_{i,p-1}\delta_{p,j} = \delta_{p-1,i}G_{p,j}$ .

Para encontrar la dimensión del espacio de soluciones, podemos trabajar a través de todos los casos :

• $j\neq p , i \neq p-1 \implies$ ninguna restricción
• $j= p , i \neq p-1 \implies G_{i,p-1} = 0$
• $j\neq p , i = p-1 \implies G_{p,j} = 0$
• $j=p , i = p-1 \implies G_{p,p} = G_{p-1,p-1}$

Cuento $(p-1)+(p-1)+1\color{red}{-1}= 2p$ restricciones independientes, por lo que la dimensión buscada es $p^2 - (2p) = (p-1)^2+1 = (n^2-1)^2+1$ que es lo mismo que el caso diagonalizable.

Edición : Incluso es posible construir la base de Jordania de forma explícita. El último vector sería $E_p =A^T/Tr(AA^T)$ por ejemplo, el penúltimo, $E_{p-1} = B$ y el resto abarcaría el resto del hiperplano $Tr(AX)=0$ .

Por lo tanto, $f(E_i) = E_i \forall i\ne p$ y $f(E_p) = E_p + E_{p-1}$ .