El ejemplo básico de esta función es $f(x) = e^{ax^2}$ para cualquier constante $a$ . ¿Son estas las únicas funciones con esta propiedad, o hay otras?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\def\RR{\mathbb{R}}$ Supongamos que $f$ , $g:\RR\to\RR$ es una función suave tal que $f(x)f(y)=g(x^2+y^2)$ para todas las opciones de $x$ y $y$ en $\RR$ y para evitar trivialidades que existe $y_0$ en $\RR$ tal que $y_0f(y_0)\neq0$ .
Tomando derivadas con respecto a $x$ y $y$ vemos que $f'(x)f(y)=2xg'(x^2+y^2)$ y $f(x)f'(y)=2yg'(x^2+y^2)$ de forma idéntica, por lo que $yf'(x)f(y)-xf(x)f'(y)=0$ .
En particular, $y_0f'(x)f(y_0)-xf(x)f'(y_0)=0$ para todos $x$ y la elección de $y_0$ implica que $$ f'(x) = \frac{f'(y_0)}{y_0f(y_0)}xf(x)$$ .
Ahora puedes resolver esta ecuación diferencial.
