En primer lugar, no hay ninguna "diferencia formal" entre un teorema y un lema. Formalmente, si se ven las matemáticas desde la perspectiva de la teoría de conjuntos ( ZFC ), debes concluir que cualquier cosa comúnmente llamada "lema" en la literatura es por definición "un teorema de ZFC", es decir, una secuencia finita de fórmulas verdaderas de ZFC que fluyen lógicamente de una fórmula a la siguiente terminando en una fórmula que representa el enunciado del teorema.
Así, los lemas se invocan con libertad literaria para que se entienda que realmente son teoremas, pero de alguna manera "pequeños". Pero, ¿por qué molestarse?
Un lema suele presentarse de dos formas: (i) un truco útil o (ii) un paso técnico en una demostración. Permítanme mostrar algunos ejemplos.
Un truco útil en el análisis real se llama " El lema de Fatou que nos ayuda a intercambiar las operaciones de límite y las integrales. A grandes rasgos, afirma que
"si $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) \rightarrow f(x)$ para todos $x$ entonces
$$\int \lim f_n(x) dx = \int f(x) dx \leq \lim \displaystyle\int f_n(x) dx ,"$$
que, resulta, se convierte en "la mitad del trabajo" para demostrar un montón de desigualdades muy útiles y de uso frecuente como la Teorema de convergencia monótona y la de Lebesgue Teorema de convergencia dominante . Por sí solo, el lema de Fatou no es tan notable, y rápidamente se convierte en un paso rutinario menor en teoremas muy importantes y fundamentales del análisis real -- por eso es en sí mismo un lema, no un teorema.
Otro buen ejemplo de teorema del tipo (i) es " El lema de Zorn ". El lema de Zorn es una declaración técnica sobre conjuntos parcialmente ordenados pero se invoca con frecuencia en las pruebas que estudian ideales en la teoría de los anillos (estoy seguro de que tiene muchos más usos pero los desconozco).
Lo extraño del lema de Zorn es que es lógicamente equivalente al Axioma de elección Es decir, a partir del lema de Zorn se puede demostrar el Axioma de Elección y a partir del Axioma de Elección se puede demostrar el lema de Zorn. En otras palabras, si estudiaste los axiomas de la teoría de conjuntos pero en lugar de asumir el axioma de elección asumiste el Lemma de Zorn como un axioma (llamémosle por ahora Axioma de Zorn), entonces se podría deducir eventualmente el Axioma de Elección (¿tal vez el Lemma de Elección?) como consecuencia del Axioma de Zorn. Así que el lema de Zorn es un lema SÓLO PORQUE asumimos el Axioma de Elección en lugar del lema de Zorn como un axioma de la teoría de conjuntos estándar: es un lema sólo por cómo elegimos organizar las matemáticas.
Un lema de tipo (ii) es algo muy técnico que, si se demuestra en medio del teorema que realmente están tratando de probar, puede tener dificultades para retomar el camino, ya que tarda demasiado tiempo. Esto sucede TODO el tiempo en las matemáticas. He aquí un ejemplo que encontré recientemente en la demostración del teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas en la "Introducción a la teoría analítica de los números" de Tom Apostol:
Teorema (Teorema de Dirichlet): Si $h$ y $k$ son enteros relativamente primos, entonces hay infinitos primos en la progresión aritmética $\{hn+k \colon n = 1,2,3,\ldots\}$ .
Para demostrar este teorema, demuestra una serie de lemas, tales como
Lema 7.4: Si $x > 1$ tenemos
$$\displaystyle\sum_{p \leq x; p \equiv h (mod k)} \frac{\log p}{p} = \frac{1}{\phi(k)} \log x + \frac{1}{\phi(k)} \displaystyle\sum_{r=2}^{\phi(k)} \overline{\chi_r(h)} \displaystyle\sum_{p \leq x} \frac{\chi_r(p)\log p}{p} + \mathscr{O}(1),$$
y
Lema 7.5 Para $x > 1$ y $\chi \neq \chi_1$ tenemos
$$\displaystyle\sum_{p \leq x} \frac{\chi(p)\log p}{p} = -L_{\chi}'(1) \displaystyle\sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n} + \mathscr{O}(1),$$
y así sucesivamente. Tiene, en total, unos 5 o 6 lemas de este tipo, que son pasos en la demostración del teorema antes mencionado. La razón por la que estas cosas, aunque son complicadas y sustanciales (¡mucho más que el lema de Fatou!), se llaman lemas, es que si uno empezara a demostrar el Teorema de Dirichlet y probara estos en medio de esa demostración, se perdería fácilmente.
Así que realmente, lo que es un lema para ti es lo que tú quieras que sea. Es una palabra que existe en nuestro vocabulario y que forma parte del propio nombre de un concepto como el lema de Zorn o puede ser simplemente una palabra para promover una exposición más legible.
