Construcción de un modelo de aritmética de Peano

Question

En este momento estoy estudiando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel. Ya conozco los siguientes seis axiomas:

• El axioma del conjunto vacío
• El axioma de extensionalidad
• El axioma del emparejamiento
• El axioma del infinito
• El esquema axiomático de la separación
• El axioma del conjunto de potencia

En la conferencia hemos querido construir un modelo de aritmética peano sobre $\omega$ utilizando los axiomas anteriores. Empezamos como sigue (el lenguaje de la Aritmética de Peano es $\mathcal{L}_{PA}=\{0,s,+,\cdot\}$ ):

$$0^\mathbb{N}:=\emptyset$$ $$s^\mathbb{N}:=\{\langle n,m \rangle\in \omega\times \omega\mid m=n \cup \{n\}\} $$ $$+^\mathbb{N}:=\bigcup\{a\in\mathcal{P}((\omega\times\omega)\times\omega)\mid\varphi(a)\}, $$ donde $$\varphi(a)\equiv \forall x\in \omega (\langle \langle x,\emptyset\rangle,x\rangle\in a) \land \forall x\forall y\forall z\forall z'(\langle \langle x,y\rangle,z\rangle\in a\land \langle \langle x,y\rangle,z'\rangle\in a \rightarrow z=z')$$

¿Por qué se sostiene lo siguiente? $$\forall x\forall y(x+^\mathbb{N}s^\mathbb{N}(y)=s^\mathbb{N}(x+^\mathbb{N}y))$$

¿Es la definición de $+^\mathbb{N}$ ¿correcto? Porque incluso en casos "simples" como $y=\emptyset$ y $x\in\omega$ No sé qué $x+^\mathbb{N}y$ es.

Editar: He vuelto a pensar en mi pregunta y estoy de acuerdo en que hay algo que falla en la definición de $+^\mathbb{N}$ . Aquí están mis pensamientos:

Definamos $$+^\mathbb{N}:=\bigcap\{a\in\mathcal{P}((\omega\times\omega)\times\omega)\mid\varphi(a)\}, $$ donde $$\varphi(a)\equiv \forall x\in \omega (\langle \langle x,\emptyset\rangle,x\rangle\in a) \land \forall x\forall y\forall z\forall z'(\langle \langle x,y\rangle,z\rangle\in a\land \langle \langle x,y\rangle,z'\rangle\in a \rightarrow z=z')\land \forall x\forall y\forall z (\langle\langle x,y\rangle,z\rangle \in a \rightarrow \langle\langle x, s^\mathbb{N}(y)\rangle, z\cup \{z\}\rangle \in a)$$

Ahora quiero demostrar que $+^\mathbb{N}$ es funcional. Por lo tanto, dejemos que $x,y\in \omega$ . Si $y=\emptyset$ entonces $\langle\langle x,y\rangle,x\rangle\in +^\mathbb{N}.$ Supongamos ahora que $y\neq \emptyset.$ Pero entonces por definición de $\omega$ , $y$ es un ordinal sucesor. Así que $y=k\cup \{k\}$ . Si hay un $z_1\in \omega$ tal que $\langle\langle x,k\rangle,z_1\rangle\in a$ entonces $\langle\langle x,y\rangle,z_1\cup \{z_1\}\rangle\in a.$ Pero si $k\neq \emptyset$ , $k$ es de nuevo un ordinal sucesorio, etc. $x,y\in \omega$ está claro por la condición

$$ \forall x\forall y\forall z\forall z'(\langle \langle x,y\rangle,z\rangle\in a\land \langle \langle x,y\rangle,z'\rangle\in a \rightarrow z=z').$$

Answer 1

La revisión $\varphi$ se ve bien: $\varphi(x)$ ahora especifica que $x$ satisface los requisitos mínimos para ser lo que queremos, y la intersección de todos esos conjuntos debería eliminar todos los elementos extraños. Sin embargo, su argumento de que $+^{\Bbb N}$ es funcional definitivamente necesita trabajo.

Arreglar $x\in\omega$ . Sea

$$B_x=\left\{y\in\omega:\exists u,v\in\omega\left(u\ne v\land\big\langle\langle x,y\rangle,u\big\rangle,\big\langle\langle x,y\rangle,v\big\rangle\in+^{\Bbb N}\right)\right\}\;,$$

y supongamos que $B_x\ne\varnothing$ . Sea $m=\min B_x$ y supongamos primero que $m=0$ . Entonces hay un $n\in\omega$ tal que $\big\langle\langle x,0\rangle,n\big\rangle\in+^{\Bbb N}$ y $n\ne x$ . Sea

$$a=\left(+^{\Bbb N}\right)\setminus\left\{\big\langle\langle x,0\rangle,n\big\rangle\right\}\;;$$

entonces $\varphi(a)$ Así que $+^{\Bbb N}\subseteq a\subsetneqq+^{\Bbb N}$ Lo cual es absurdo. Por lo tanto, $m>0$ y por lo tanto $m=s^{\Bbb N}(k)$ para algunos $k\in\omega$ .

Un argumento similar sirve para este caso. Por la elección de $m$ hay un único $\ell\in\omega$ tal que $\big\langle\langle x,k\rangle,\ell\big\rangle\in+^{\Bbb N}$ pero hay un $n\in\omega$ tal que $\big\langle\langle x,m\rangle,n\big\rangle\in+^{\Bbb N}$ y $n\ne \ell\cup\{\ell\}$ . Podemos volver a dejar

$$a=\left(+^{\Bbb N}\right)\setminus\left\{\big\langle\langle x,m\rangle,n\big\rangle\right\}\;,$$

y obtenemos exactamente la misma contradicción que en el caso $m=0$ . De ello se desprende que $B_x=\varnothing$ y por lo tanto que para cada $y\in\omega$ hay un único $u\in\omega$ tal que $\big\langle x,y\rangle,u\big\rangle\in+^{\Bbb N}$ . Desde $x\in\omega$ era arbitraria, hemos demostrado que $+^{\Bbb N}$ es una función.

Queda por comprobar que

$$\forall x\forall y\left(x+^\mathbb{N}s^\mathbb{N}(y)=s^\mathbb{N}\left(x+^\mathbb{N}y\right)\right)\;.$$

La idea es básicamente la misma. Arreglar $x\in\omega$ y que

$$B_x=\left\{y\in\omega:x+^{\Bbb N}s^{\Bbb N}(y)\ne s^{\Bbb N}\left(x+^{\Bbb N}y\right)\right\}\;.$$

Supongamos que $B_x\ne\varnothing$ , dejemos que $m=\min B_x$ y utilizar la definición de $+^{\Bbb N}$ para derivar una contradicción. Esto es muy parecido a lo que hice anteriormente para demostrar que $+^{\Bbb N}$ es una función, así que primero te daré una oportunidad; si te quedas atascado, deja un comentario y lo completaré.