Intento mostrar la siguiente afirmación:
Todo módulo de tipo finito, es decir, finitamente generado, tiene un sistema mínimo de generadores (un sistema mínimo de generadores $\mathcal S$ es un sistema de generadores tal que ningún subconjunto adecuado de $\mathcal S$ genera el módulo).
No estoy muy seguro de que mi idea sea correcta, así que voy a contar lo que se me ha ocurrido, agradecería cualquier corrección.
Dejemos que $M$ sea un módulo de tipo finito. Entonces existe un conjunto finito $\mathcal S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$ tal que $M=<x_1,...,x_n>$ . Si $\mathcal S$ no tiene un subconjunto adecuado que genere $M$ entonces hemos terminado. Supongamos que $\mathcal S'$ es un subconjunto propio de $\mathcal S$ que genera $M$ . Entonces $\mathcal S'$ es de la forma $\mathcal S'=\{x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_j}\}$ con $i_j<n$ y $x_{i_k} \in S$ para todos $1\leq k \leq j$ . Si $\mathcal S'$ es mínimo, hemos terminado, si no, repite el mismo proceso que antes para extraer un subconjunto adecuado $\mathcal S'' \subset S'$ que genera $M$ . Si pudiéramos extraer un sistema mínimo antes del $n-1$ paso entonces hemos terminado. Si no fuera el caso, entonces terminamos con un subconjunto $\mathcal P \subset S$ con un solo elemento. A continuación, $P=\{x\}$ genera $M$ y está claro que $P$ es un sistema mínimo. En cualquier caso, podríamos construir un sistema mínimo extraído de $S$ . De aquí se desprende la afirmación.
