El menor número que deja restos 2, 3, 4, 5 y 6 al dividir por 3, 4, 5, 6 y 7 es

Question

Problema - El menor número que deja restos 2, 3, 4, 5 y 6 al dividir por 3, 4, 5, 6 y 7 es?

Solución - Aquí 3-2 = 1, 4-3 = 1, 5-4 = 1 y así sucesivamente.

Así que el número requerido es (LCM de 3, 4, 5, 6, 7) - 1 = 419

Mi confusión -

No entendí la solución de esto. Por favor, explique cómo al restar se llegó a la conclusión de que el número será el (LCM - 1)?

Answer 1

$\, x\!+\!1\equiv 0\pmod{m_i}\iff m_i\mid x\!+\!1\iff {\rm lcm}\{m_i\}\mid x\!+\!1\iff x\equiv -1\pmod{{\rm lcm}\{m_i\}}$

O, lo que es lo mismo: $\,\ x\equiv -1\pmod{m_i}\iff x\equiv -1\pmod{{\rm lcm}\{m_i\}},\ $ que puede ser visto como el especial constant-case del Teorema del Resto Chino (TRC).

Answer 2

Acabo de encontrar esto respuesta en otro similar pregunta

Y esto lo explica.

Gracias.

Answer 3

Puedes ver por inspección que -1 funciona. Entonces cualquier otra solución debe ser congruente con -1 mod lcm(3,4,5,6,7) = 420 y por lo tanto la solución menos positiva es 419.