Convergencia de la función

Question

Supongamos que

• $V(t)$ es una función continua no negativa ( $\forall t:V(t)\ge0$ ).
• $\dot{V}(t) = -|h(t)|^2 + f(t)g(t)$
• $f(t)$ es una función acotada y uniformemente continua.
• $g(t)$ es una función acotada y uniformemente continua.

En estas condiciones, ¿es cierto que $|h(t)|\to0$ cuando $g(t)$ converge asintóticamente a cero?

--añadió

Creo que esto es cierto, pero no estoy seguro.

$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \dot{V}(t) = -\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }|h(t)|^2 + \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }f(t)g(t) = -\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }|h(t)|^2$

En la ecuación anterior, $V(t)$ podría ser una función decreciente cuando $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }|h(t)|\ne0$ .

Por lo tanto, creo que $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }|h(t)|$ debe ser cero para satisfacer la acotación de $V(t)$ .

¿Es esto cierto?

Answer 1

Presumiblemente $V$ es diferenciable.

Desde $f$ está acotado existe $M > 0$ tal que $-M \leq f(t) \leq M.$

También $\lim_{t \rightarrow \infty}g(t) = 0.$ Por lo tanto, para cualquier $\epsilon >0$ existe $T> 0$ tal que $-\epsilon/M < g(t) < \epsilon/M$ cuando $t > T$ .

De ello se desprende que para $t > T$ ,

$$-|h(t)|^2 - \epsilon < V'(t) < -|h(t)|^2 + \epsilon .$$

Si $\lim_{t \rightarrow \infty} |h(t)| =0$ hemos terminado.

Por lo demás, $V'(t)<0$ para todos $t$ suficientemente grande. Por lo tanto, $V$ es finalmente una función decreciente limitada por debajo por $0$ y

$$\lim_{t \rightarrow \infty} V(t) = L \geq 0.$$ Si el límite de $V'(t)$ existe entonces aplicar la regla de L'Hospitals a $e^tV(t)/e^t$ para concluir que $V'(t) \rightarrow 0$ y $\lim_{t \rightarrow \infty} |h(t)| =0$ .

Es posible que el límite no exista sin más condiciones en $h$ . Por ejemplo

$$|h(t)|^2 = \sum_{n=1}^{\infty}1_{[n-n^{-2},n+n^{-2}]}(t)$$