La convergencia de una secuencia $c_n$

Question

Supongamos que $(a_n)$ $(b_n)$ ser secuencias que $\lim (a_n)=0$ $\displaystyle \lim \left( \sum_{i=1}^n b_i \right)$ existe. Definir $c_n = a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1$. Demostrar que $\lim (c_n)=0$

Answer 1

Contador de ejemplo:si $a_n,b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ $\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^i}{\sqrt{i}}$ es convergente (Leibniz prueba) y tenemos $c_n=\sum_{k=1}^na_kb_{n-k+1}=(-1)^{n+1}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{(n-k+1)(k)}}$,ahora consideramos $k(n-k+1)\le(n-k+1)(k+1)=(\frac{n}{2}+1)^2-(\frac{n}{2}-k)^2\le(\frac{n}{2}+1)^2$$\mid c_n \mid\ge\frac{2(n+1)}{n+2}$, por lo tanto $c_n$ no es convergente a $0$.

Answer 2

Supongamos, además, que $\displaystyle \sum\limits_{k \geq 1} |b_k|<+ \infty$.

Deje $\epsilon>0$ $N \geq 0$ tal que $\displaystyle \sum\limits_{k \geq N } |b_k| <\epsilon$. También, vamos a $M>0$ ser tal que $|a_k|<M$ todos los $k \geq 0$.

A continuación, $$\left| \sum\limits_{k=1}^n a_{n-k+1}b_k \right| \leq M \sum\limits_{k=N}^n |b_k| + \max\limits_{k \geq n-N+2} |a_k| \cdot \sum\limits_{k=1}^{N-1} |b_k|$$

Para $n$ lo suficientemente grande, consigue $$\left| \sum\limits_{k=1}^n a_{n-k+1}b_k \right| \leq (M+1)\epsilon$$

Por lo tanto, es cierto que $\lim\limits_{n\to + \infty} c_n=0$ al $\displaystyle \sum\limits_{n \geq 1} b_n$ es absolutamente convergente.

Answer 3

Supongamos $b_i \geq 0$

Voy a dar algo de una sugerencia.

Dos observaciones que le llevará a la respuesta.

$1)$ Desde $\lim a_n=0$, $|a_n|$ está delimitado

$2)$ La cola de $\sum _{n=0}^{\infty}b_n$ tienden a cero. Lo que significa para $\epsilon >0$ usted puede encontrar $n_0$ tal que $\sum_{n=k}^{m}b_n<\epsilon \forall k,m \geq n_0$.

Una buena forma de comenzar es el uso de la condición de $\lim a_n=0$ y tratar de sacar el máximo provecho de ella. Tratar de encontrar qué parte de $c_n$ es empujado a cero por $a_n$. Cuando encuentre el que el papel de la $a_n$ la otra parte debe ir a cero, debido a las condiciones en $b_n$.

Por supuesto, esto es un proceso, tal vez la parte que has encontrado es enviado a cero por $a_n$ no es el óptimo, lo que podría imly el resto de la $c_n$ no puede ser enviado a cero por $b_n$. A continuación, volver y tratar de incrementar el rol de $a_n$.

Vamos a empezar: $\lim b_1 a_n=0$, también se $\lim b_2 a_{n-1}=0$ y así sucesivamente. Que muestra la parte derecha de $c_n = a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1$ va a cero. Una buena estimación de lo que el papel de la $a_n$ es la siguiente: fijar un $k$ $\lim (b_1 a_n +b_2 a_{n-2}+ \cdots +b_ka_{n-k+1})=0 $

Ahora uso para el triángulo de la desigualdad \begin{align} |c_n |&=|a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1|\\ &\leq |(b_1 a_n +b_2 a_{n-2}+ \cdots +b_ka_{n-k+1})|+|b_{k+1}a_{n-k} + \ldots b_1 a_n|\\ &\leq |(b_1 a_n +b_2 a_{n-2}+ \cdots +b_ka_{n-k+1})|+\sup \{|a_n|\}(\sum_{n=k}^{m}b_n) \end{align}

Answer 4

Supongamos $a_n\to0$ monótonamente.

Deje $B_k=\sum\limits_{j=k}^\infty b_j$. Ya que la suma de $b_j$ converge, $\bar{B}_n=\sup\limits_{k\ge n}\left|B_k\right|$ disminuye monótonamente a $0$.

Deje $\epsilon\gt0$. Elija $N$, de modo que si $n\ge N$, $a_{n/2}\bar{B}_0\le\epsilon/4, a_0\bar{B}_{n/2}\le\epsilon/4$ $$ \begin{align} |c_n|& =\left|\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right|\\ &=\left|\sum_{k=0}^na_k(B_{n-k}-B_{n-k+1})\right|\\ &=\left|a_nB_0-a_0B_{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}a_kB_{n-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_{n-k}\right|\\ &=\left|a_nB_0-a_0B_{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_{n-k}\right|\\ &=\left|a_n\bar{B}_0-a_0\bar{B}_n+\sum_{k=0}^{n/2-1}(a_k-a_{k+1})B_{n-k}+\sum_{k=n/2}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_{n-k}\right|\\ &\le|a_n\bar{B}_0|+|a_0\bar{B}_n|+|a_0\bar{B}_{n/2}|+|a_{n/2}\bar{B}_0|\\ &\le\epsilon \end{align} $$ Por lo tanto, $c_n\to0$.

Answer 5

Lo siento de todo, la correcta debería ser $b_n$ es positivo. Tengo mi solución a este problema. WLOG $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} b_i=1$. Dado $\epsilon >0$. Entonces existe $M$ tal que para todo $n>M$, $|a_n|< \epsilon$. Siguiente, no existe $N$ tal que para todo $n \geq m>N$, $b_m+ \dots b_n < \epsilon/(|a_1|+ \dots |a_N|+1)$. Ahora, considere la posibilidad de $n>M+N$,$|c_n| \leq (|a_1|b_n+ \dots |a_N|b_{n-N+1})+(|a_{N+1}|b_{n-N}+ \dots |a_n|b_1) \leq \epsilon + \epsilon$. Desde $\epsilon$ es arbitrario, $(c_n)$ va a 0.