Resolviendo para x en una ecuación trigonométrica

Question

Tuve que resolver para $x$ en esta ecuación: $$ \sin(2x)\tan(x) = \sin(2x) $$ Estaba apurado, así que quizás no lo pensé lo suficiente, pero en ese momento el curso de acción más obvio fue dividir ambos lados por $\sin(2x)$, para aislar $\tan(x)$ en un lado y $\frac{\sin(2x)}{\sin(2x)}$, o $1$, en el otro lado. Así que obtuve $\tan(x) = 45^\circ$, y pasé a listar el resto de las soluciones en el rango dado $[-2\pi, 2\pi]$.

Sin embargo, me marcaron una cantidad considerable de puntos, y mi método detallado anteriormente aparentemente fue el principal culpable. Mi profesor fue bastante críptico sobre el error exacto que cometí, pero asumo que hice algo incorrecto al intentar resolver para $x$.

¿Alguien puede arrojar luz sobre cuál fue mi error?

Answer 1

Como seguramente sabrás, no se puede dividir por cero. La función $\sin2x$ puede ser igual a cero, por lo que no se debe dividir por ella. En su lugar, debes factorizar de la siguiente manera:

$$\sin2x\tan x=\sin2x$$ $$\sin2x\tan x-\sin2x=0$$ $$\sin2x(\tan x-1)=0$$ Por lo tanto: $\sin2x=0$ o $\tan x=1$

Luego resuelve esos dos por separado:

$$\sin2x=0\to2x=-4\pi,-3\pi,-2\pi-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi$$ o $$\tan x=1\to x=-\frac{7\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$$ así que: $$x=-2\pi,-\frac{7\pi}{4},-\frac{3\pi}{2},-\pi,-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2},0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\pi,\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2},2\pi$$

Answer 2

\begin{align} \sin(2x)\tan(x) &= \sin(2x) \\ \color{red}{\sin(2x) = 0} & \text{ o } \tan(x) = 1 \\ x &= -2\pi,-7\pi/4,-3\pi/2,-\pi,-3\pi/4,-\pi/2,0,\pi/4,\pi/2,\pi,5\pi/4,3\pi/2 \text{ o } 2\pi \end{align}

Answer 3

$$\sin 2x\tan x=\sin 2x$$ $$\sin 2x(\tan x-1)=0$$ $$\sin 2x=0\implies 2x=n\pi\ \ \ or\ \ \ x=\frac{n\pi}{2}$$ o $$\tan x=1\implies x=n\pi+\frac{\pi}{4}$$ Donde, $n$ es cualquier entero

Para el rango dado $[-2\pi, 2\pi]$, uno debería obtener $$x=-2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi $$ o $$x=-\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$$