Dtldarek dio una buena explicación de por qué mi lógica era errónea. Aquí presento un punto de vista ligeramente diferente por qué Me equivoqué .
Lo bueno
El sorteo es justo bajo el supuesto de que cada persona ha comprado exactamente un billete.
¿Qué quiero decir con esta última afirmación? Supongamos que el juego sólo permite una entrada a cada persona. Sea $s$ sea un número entero. Entonces elegimos 2 $s$ entradas del Libro $_1$ , $3s$ del libro $_2$ y $5s$ del libro $_3$ . Habrá entonces un total de $10s$ entradas elegidas. Así que tienes un $1/10s$ posibilidad de ganar después de ser elegido. La posibilidad de ser elegido es simplemente $s/200$ . Podemos verlo pensando en los resultados deseados frente a los posibles. Por ejemplo, $$ \frac{2s}{400}=\frac{3s}{600}=\frac{5s}{1000}=\frac{s}{200} $$ Para cada libro $_1$ , libro $_1$ y el libro $_3$ . La posibilidad de ganar el sorteo final se hace de forma similar. en total tenemos $2s+3s+5s = 10s$ billetes. Tienes uno de esos. Así que la posibilidad de ganar el sorteo final es $1/10s$ . Si se combinan, la probabilidad total de ganar viene dada por $$ P_{1,2,3} \ = \hspace{-1.5cm}\overbrace{\frac{1}{10s}}^{\text{Chance of winning the final draw}}\hspace{-1.5cm} \cdot \hspace{-1.8cm} \underbrace{\frac{s}{200}}_{\text{Chance of getting picked from book$ _n $}} \hspace{-1.6cm} = \ \ \frac{1}{2000} $$ Que es independiente del factor de escala $s$ . Recogiendo $v$ ganadores en lugar de $1$ no cambia nada. Todos tienen las mismas posibilidades de entrar en el sorteo final $s/200$ . Al cambiar el número de ganadores, sólo cambia la posibilidad de ganar el sorteo final. Digamos que elegimos $v$ ganadores (nótese que tenemos $10s$ entradas en el sorteo final, por lo que $10s \geq v$ . La probabilidad total de ganar será entonces $$ P_{1,2,4}(s,v) = \frac{s}{200} \binom{1}{1}\binom{10s-1}{v-1}\Big/\binom{10s}{v} = \frac{s}{200} \cdot \frac{v}{10s} = \frac{v}{2000} $$ Por lo tanto, el sorteo depende exclusivamente del número de ganadores, y se escala linealmente.
Lo malo
El sorteo es injusto siempre que cualquier jugador compre más de un boleto, y tengamos más de un ganador.
Para minimizar el error de este método supongamos que queremos $s$ para ser lo más pequeño posible. Esto es lógico. No queremos hacer más sorteos para conseguir $v$ ganadores de lo necesario. De ahí que queramos $10s$ sea el menor número entero mayor que $v$ . En otras palabras $$ s \geq \left\lceil \frac{v}{10} \right\rceil $$ Donde $\lceil x \rceil$ denota la función de mayor número entero (redondeado al número entero más cercano). A partir de este punto, defino $$ s = \left\lceil \frac{v}{10} \right\rceil $$ Tenga en cuenta que para $v \in[1,10]$ entonces $s_v=1$ . Dudo que tengamos más de $10$ ganadores con sólo $2000$ entradas. Esto significa que la única variable a considerar es $v$ para simplificar la notación $s_v$ Para simplificar aún más la notación, definimos $$ b_n = \frac12 x^2-\frac 12x+2 $$ De tal manera que $b_1=2$ , $b_2=3$ y $b_3=5$ . W $200 \cdot b(n)$ da el número de entradas en el libro $[n]$ . Supongamos ahora que se le permite comprar $\ell$ entradas. La posibilidad de conseguir $k$ de su $\ell$ entradas escogidas del libro $n$ kpuede escribirse como $$ P_n(v,\ell,k) = \binom{\ell}{k}\binom{200b_n - \ell}{s_v b_n - k}\Big/ \binom{200b_n}{s_v b_n} $$ Estas probabilidades pueden escribirse explícitamente como $$ \begin{align*} P_1(v,\ell,k) & = \binom{\ell}{k}\binom{400 - \ell}{s_v b_n - k}\Big/ \binom{400}{2s_v} \\ P_2(v,\ell,k) & = \binom{\ell}{k}\binom{600 - \ell}{s_v b_n - k}\Big/ \binom{600}{3s_v} \\ P_3(v,\ell,k) & = \binom{\ell}{k}\binom{1000 - \ell}{s_v b_n - k}\Big/ \binom{1000}{5s_v} \end{align*} $$ Supongamos que tienes $k$ de $\ell$ entradas elegidas. Ahora asumo que quieres ganar en al menos una de estas entradas. Supongamos que tiene $k$ entradas en el sorteo final. La probabilidad de ganar en al menos uno de ellos se da como $$ W(v,k) = 1 - \binom{k}{0}\binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} = 1 - \binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} $$ La oportunidad de ganar en $k$ de $\ell$ por lo tanto, las entradas se dan como $$ t_n(v,\ell,k) = W(v,k) \cdot P_n(v,\ell,k) $$ Ya casi estamos Esto significa que la posibilidad de ganar en al menos un billete es $$ \begin{align*} T_n(v,\ell) & = \sum_{k=1}^{\large \ell} W(v,k) \cdot P_n(v,\ell,k) \cdot W(v,k) \\ & = \sum_{k=1}^{\large \ell} \left[ 1 - \binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} \right] \binom{\ell}{k}\binom{200b_n - \ell}{s_v b_n - k}\Big/ \binom{200b_n}{s_v b_n} \end{align*} $$ Por supuesto, esto también puede escribirse explícitamente para $n=1,2,3$ . Sin hacerla más bonita. $$ \begin{align*} T_1(v,\ell) & = \sum_{k=1}^{\large \ell} \left[ 1 - \binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} \right] \binom{\ell}{k}\binom{400 - \ell}{2s_v - k}\Big/ \binom{400}{2s_v} \\ T_2(v,\ell) & = \sum_{k=1}^{\large \ell} \left[ 1 - \binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} \right] \binom{\ell}{k}\binom{600 - \ell}{3s_v - k}\Big/ \binom{600}{3s_v} \\ T_3(v,\ell) & = \sum_{k=1}^{\large \ell} \left[ 1 - \binom{10s_v-k}{v}\Big/\binom{10s_v}{v} \right] \binom{\ell}{k}\binom{1000 - \ell}{5s_v - k}\Big/ \binom{1000}{5s_v} \\ \end{align*} $$ Por supuesto, hay algunas restricciones en las variables. Obviamente, todas deben ser números enteros.
La probabilidad
El sorteo es justo bajo el supuesto de que cada persona ha comprado exactamente un billete. De lo contrario, el error varía en función del número de boletos comprados $\ell$ y el número de precios.
Como experimento de pensamiento digamos que te vuelves loco por las lindas niñas exploradoras y compras $400$ entradas. ¿A qué chica debes comprar las entradas, y qué importancia tienen los precios? Digamos que compras las entradas a Book $[1]$ Esto significa que tiene garantizada su participación en el sorteo, pero sólo tiene $b_1 s_v = 3\lceil v/10\rceil$ entradas y hay $v= 10 \lceil v/10 \rceil$ . Supongamos que, en cambio, compras en los libros más grandes, porque lo más grande es lo mejor, ¿no? Ahora sólo tienes un $400/1000$ posibilidad de conseguir el primer billete, pero una mayor posibilidad en el sorteo final.
La pregunta es qué pesa más, ¿estar seguro de pasar a la segunda ronda o estar mucho mejor preparado si llegas a la segunda ronda? El análisis numérico da las siguientes tablas
![Numerical data for #tickets and #prices]()
Tenga en cuenta que puede seguir este enlace si la imagen es demasiado pequeña.
Conclusión
El sorteo no es justo, pero en una lotería normal donde los precios van desde $1-10$ No importa cuántas entradas compre una persona. Incluso si alguien se volviera loco y comprara $400$ entradas los tres libros difieren sólo en un par de porcentajes. Sin embargo, el sorteo sólo es justo si cada persona recibe un único boleto.
Así que si quiere tener una oportunidad infinitamente mayor de ganar, opte por el libro más pequeño. O si quiere ser un listillo, sugiera que elija los números del 1-2000 en su lugar.
