Dejemos que A ser un n\times n matriz. Evaluar \lim_{j \rightarrow +\infty} \left(I + \frac{A}{j}\right)^j.
Mi opinión es e^A .
Mi intento:
\begin{align*} \lim_{j \rightarrow +\infty} (I + \frac{A}{j})^j &= \lim_{j \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{j} \frac{j!}{k!(j-k)!}I^{j-k}\Big(\frac{A}{j}\Big)^k \\ &= \lim_{j \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{j} \frac{j!}{k!(j-k)!}\frac{A^k}{j^k}\\ &= \lim_{j \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{j} \frac{j(j-1)...(j- (k-1))(j-k)!}{k!(j-k)!}\frac{A^k}{j^k} \\ &= \lim_{j \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{j} \frac{j(j-1)...(j- (k-1))}{k!}\frac{A^k}{j^k} \end{align*}
Tenga en cuenta que \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{j(j-1)\cdots (j- (k-1))}{j^k} = 1 .
Entonces \lim_{j \rightarrow +\infty} (I + \frac{A}{j})^j = e^A .
¿Cómo puedo demostrar que puedo intercambiar el \lim y \sum ?