Qué significa completar un par de vectores $(w, s)$ a una base arbitraria de $R^d$ ?

Question

He encontrado en un artículo este : Que $B = (b_1, b_2, . . . , b_d)$ sea una base ortonormal de $R^d$ tal que $<b1, b2 >=< w,x >$ (donde $< ... >$ denota una extensión lineal). Para construir $B$ , primero completo $(w, x)$ a una base arbitraria de $R^d$ y luego aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Mi pregunta es: ¿qué significa completar un par de vectores $(w, s)$ a una base arbitraria de $R^d$ ?

He leído esto cómo completar una base arbitraria conociendo 2 vectores ortonormales de Rd (d > 2) $2$ -vectores-ortonormales-de-rd-d-2

pero no entendí cómo elegir al azar estos vectores : "Prácticamente, uno podría elegir $d2$ vectores aleatorios $x_1,…,x_{d2}$ (por ejemplo, elegir cada coordenada siguiendo una distribución gaussiana)".

Por favor, utilice tantos detalles como sea posible en sus explicaciones.

Answer 1

Para completar un par de vectores $(w,s)$ a una base arbitraria de $\mathbb R^d$ significa encontrar una base ordenada de $\mathbb R^d$ tal que $w,s$ son los dos primeros vectores de la misma. Por supuesto, hay muchas opciones posibles diferentes. Sin embargo, no son completamente aleatorias.

El tercer vector $v_3$ debe ser elegida como no perteneciente a $\langle w,s\rangle$ .

El (eventual) cuarto vector $v_4$ debe ser elegida como no perteneciente a $\langle w,s, v_3\rangle$ y así sucesivamente...

De este modo, cada vector no es una combinación lineal de los anteriores y esto es suficiente para demostrar que todos son linealmente independientes. Cuando se tiene $d$ de ellos tienes una base.

Nada de lo que has hecho hasta ahora te garantiza que esta base sea ortonormal. En este punto aplicas Gram-Schmidt.