He probado un método con una clase de teoría de grupos combinatoria, que consiste primero en mirar la propiedad de cociente universal relativa a las relaciones de equivalencia sobre un conjunto. Se explora esta idea, y se demuestra que el conjunto de clases de equivalencia es la respuesta que se busca y se deriva el `primer teorema iso' en ese contexto. Explóralo hasta la saciedad si quieres, con ejemplos triviales factibles y construcciones que los alumnos conozcan. (Una función define una relación de equivalencia y la relación de equivalencia define una función y están relacionadas. NB: no hay álgebra a la vista. Se trata estrictamente de construcciones sobre conjuntos y funciones.
La idea de la propiedad universal está ahora en el centro, es decir, donde debe estar. Ahora se puede preguntar si va a ocurrir algo parecido con los grupos y los homomorfismos. La cuestión es que no se trata de dividir por un subgrupo (normal) sino por una relación de equivalencia (y eso no funcionará, por supuesto). Las relaciones de equivalencia parecen ser más básicas quizás.
Todos conocemos el problema y la respuesta, pero el alumno tiene entonces algo más cercano a su experiencia previa. La relación de equivalencia no funciona, ya que aunque el cociente parece tener una multiplicación "obvia", no funciona y los ejemplos sencillos demuestran que no está bien definido (NB. "Bien definido" es un concepto sencillo pero los estudiantes pueden (y lo hacen) encontrarlo muy difícil de entender. De este modo, se conoce primero como "mala definición". La noción de buena definición tal vez no se entienda porque suele presentarse como una solución a un problema que el alumno no se ha encontrado nunca).
Ahora se examina lo que falla y se llega a la idea de que se necesita una congruencia y no simplemente una relación de equivalencia. (Aquí he utilizado un enfoque categórico sin el uso del término categoría, y realmente he considerado una congruencia como una relación de equivalencia "interna" a la categoría de grupos... y no es necesario mencionar las categorías a menos que te apetezca. Puedes hacer la transición de relación de equivalencia a congruencia de la manera que te parezca apropiada para el bagaje de los alumnos). Esta es la parte difícil, no los cosets, y es duro, pero que se evita en el tratamiento habitual.
Ahora se puede demostrar que los subgrupos normales son una reformulación de las congruencias y se puede pasar de una a otra y viceversa sin pérdida de información.
Me gusta este tratamiento ya que los cosets sólo aparecen en el último momento, y entonces son el análogo en teoría de grupos de las clases de equivalencia. (Si no tenemos esos a través de antes de hacer cosets entonces no hay esperanza)
Este tratamiento también se concentra en la algebraico detalles que realmente necesitan ser entendidos. No me refiero a los detalles de la teoría de grupos, ya que son más especializados. Tenemos clases de equivalencia, una buena definición y una propiedad universal, tres grandes ideas.
Los subgrupos normales resultan ser naturales.
¿Funcionó este enfoque? No todos los estudiantes pudieron manejar la idea de los cosets, pero sí parecían estar más contentos con las clases de equivalencia, la definición de pozo, etc., y también parecía gustarles la idea de la propiedad universal, que conocieron en varios otros contextos (grupos de productos, producto libre, grupo libre, etc.) en ese curso.
