Poniendo $8$ pares distinguibles de $2$ bolas indistinguibles en $3$ papeleras donde el orden no importa

Question

Hay $8$ pares de $2$ bolas, para un total de $16$ bolas cada uno. Dos bolas del mismo par son indistinguibles, pero se distinguen de otros pares. ¿De cuántas maneras se pueden colocar estas bolas en $3$ ¿en los que el orden no importa?

Sé que la estrategia de "Estrellas y Barras" es poner $n$ objetos indistintos en $k$ distinguen, pero aquí, algunas bolas son distinguibles y otras son indistinguibles. No he avanzado mucho en el problema. Sé cómo resolver este problema si todas las bolas fueran distinguibles y estuvieran distribuidas uniformemente en los tres recipientes. Sin embargo, este problema parece ser mucho más complicado. ¿Me pueden ayudar? Gracias de antemano.

Answer 1

Por lo que he entendido las cajas son distinguibles y queremos dispersar las bolas , llamémoslas $(a,a), (b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f),(g,g),(h,h)$ sin restricciones.

En esta pregunta, las diferentes parejas de bolas son independientes entre sí, por lo que hay que dispersarlas por separado y multiplicarlas de forma que

Dispersar $(a,a)$ a tres recipientes distinguibles: $$C(3+2-1,2)=6$$ maneras

Dispersar $(b,b)$ a tres contenedores distinguibles: $$C(2+3-1,2)=6$$ maneras

Este proceso llega hasta $(h,h)$

Entonces, $$6 \times 6\times 6 \times 6\times 6 \times 6\times 6\times6 = 6^8=1679616$$