¿Por qué es que para $n<60$ los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos $\mathbb{Z}_N$ para la primera $n$ ?

Question

Estaba leyendo esto Artículo de Wikipedia y se encontró con esto

Para los grupos de orden $n<60$ los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos $\mathbb{Z}_n$ para la primera $n$ .

Me preguntaba, ¿por qué es esto cierto para $n<60$ ? ¿Qué tiene de especial este valor?

Answer 1

Pues bien, si el orden de un grupo es divisible como máximo por dos primos, entonces es un grupo cíclico de orden primo o tiene un subgrupo normal propio (o el grupo trivial de orden $1$ ). Así, cualquier grupo simple finito no abeliano es divisible por al menos tres primos (véase Teorema de Burnside )

La primera posibilidad con al menos tres primos es $30=2\times 3 \times 5$ - pero si esto fuera simple, los teoremas de Sylow nos dirían que habría seis subgrupos de orden $5$ que contiene $24$ elementos de orden $5$ y diez subgrupos de orden $3$ que contiene $20$ elementos de orden $3$ . Así que eso no funciona.

Entonces [añadido porque mi aritmética es pobre, en respuesta a un comentario] hay $42=2\times 3\times 7$ que según Sylow tiene un subgrupo normal de orden $7$ . La siguiente posibilidad es $60$ que sí funciona.

Los teoremas de Sylow pueden ser incómodos de utilizar en general (por ejemplo, no proporcionan ninguna prueba fácil del teorema de Burnside), pero pueden decirnos mucho sobre grupos con estructuras simples. Por ejemplo, si tenemos un factor $3$ en el orden del grupo también necesitamos uno de $4,7,10,13,16 \dots$ . Un factor de cinco viene con un factor de $6, 11, 16, 21 \dots$ y el siete viene con $8, 15, 22 \dots $

Ahora supongamos, por ejemplo, que tenemos $4$ Sylow $3$ subgrupos en nuestro grupo simple $G$ . Entonces $G$ actúa transitivamente por conjugación sobre esos subgrupos, y esta acción da un homomorfismo de $G$ en un subgrupo no trivial de $S_4$ . Desde $G$ es simple, este debe tener Kernel trivial y $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_4$ . Así que cuatro subgrupos no serán suficientes.

Si tenemos un factor siete, necesitamos al menos $8$ como otro factor, más otro primo. Si tomamos $3$ obtenemos $168$ que es el orden del siguiente grupo simple no abeliano después del orden $60$ .

El comentario de Daniel Fisher de que los grupos más pequeños "no son tan complicados como para ser simples" es acertado.

Answer 2

Todos los grupos de orden inferior a $60$ son solucionables. Y los grupos simples que son solubles son precisamente los de orden primo.

Answer 3

Obsérvese que 60 es el menor producto libre no cuadrado de 3 potencias de primos distintos(= $2^2\bullet3\bullet5$ ), todos los enteros no negativos menores que 60 es uno de los siguientes casos y cualquier grupo de este orden es abeliano o no simple o ambos:

Grupo p : O bien cíclico (abeliano) o bien no simple (Por la 1ª Sylow)

$p^a q^b$ : Burnside's $p^a q^b$ El teorema dice que no son simples.

pqr : Supongamos que algún grupo de orden pqr es simple y p<q<r entonces calcula los números más pequeños pueden ser $n_p, n_q, n_r$ , entonces contar el menor número de elementos de los subgrupos Sylow p,q,r revela que la suma es superior a pqr lo cual es una contradicción.

0 : $<e>$ que es abeliano y no simple, ya que todo es igual a e, y no tiene ningún subgrupo normal propio.