Suma finita que suma $x e^x$

Question

En mi clase de análisis, tenemos que demostrar esto y otras dos sumas relacionadas que creo que podría demostrar si supiera esto. Sin embargo, no sé cómo empezar a resolver esto; cualquier pista sería apreciada. $$\sum_{n=0}^{\infty} \left( e^x-1-\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right)=xe^x$$

Un método para demostrar esto menciona la suma por partes, y la única referencia que encontré en relación con eso es el lema de Abel que intenté usar pero no me ayuda. ¿Qué otras soluciones hay?

Answer 1

Escribamos la suma en cuestión utilizando la notación de suma:

\begin{align*} S&=\sum_{n=0}^\infty \left(e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{align*} Cambiemos el orden de la suma: $$S=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^{k-1}\frac{x^k}{k!}$$ Pero ojo: el valor del sumando no depende de $n$ . Por lo tanto, podemos tratar esa suma interna como si tuviéramos un sumando constante, en cuyo caso sólo estamos multiplicando por $k=(k-1)-0+1$ . Así que, $$S=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{(k-1)!}$$ Dejemos que $k=m+1$ : $$S=\sum_{m=0}^\infty \frac{x^{m+1}}{m!}=x\sum_{m=0}^\infty\frac{x^m}{m!}=xe^x$$ según sea necesario.

Answer 2

\begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \left( e^x-1-\frac x {1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] & \begin{array}{cccccccccc} = & x & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & & & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \end{array} \\[10pt] = {} & x + x^2 + \frac{x^3} 2 + \frac{x^4} 6 + \frac{x^5}{24} + \cdots \\\\cdots[8pt] = {} & x\left( 1 + x + \frac{x^2} 2 + \frac{x^3} 6 + \frac{x^4}{24} +\cdots \right) = xe^x. \fin{align}

Posdata: Tal vez sea útil expresarlo de una manera en la que la forma general sea explícita en lugar de estar indicada por tres puntos que significan "continuar con el mismo patrón". \begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = {} & \sum_{n,k\,:\,k\,\ge\,n+1\,\ge\,1} \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = & \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{n=0}^{k-1} \frac{x^k}{k!} \right) \end{align} Pero no $\text{“}n\text{”}$ aparece en esta suma en la que $n$ va de $0$ a $k-1$ por lo que la suma es sólo $x^k/k!$ multiplicado por el número de términos, que es $k$ : $$ \sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!} = x\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = xe^x. $$

Answer 3

Podemos empezar con la conocida serie de Maclaurin para
$e^x$

Answer 4

Sugerencia :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k={n+1}}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=0}^{k-1} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=1}^{+\infty} k\times\frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{k+1}}{k!} = x e^x$$