Estoy tratando de traducir la construcción Proj como una especie de cociente por un $\mathbb{G}_m$ acción. Esto es lo que tengo hasta ahora:
Dejemos que $X=Spec A$ sea un esquema afín (después de establecer este caso imagino que sería relativamente fácil generalizar a esquemas relativamente afines y obtener Proj global). Sea $\mathbb{G}_m = Spec \mathbb Z_{[x,x^{-1}]}$ sea el grupo multiplicativo.
Los datos de una acción $\rho :X \times \mathbb{G_m} \to X$ es, de forma equivalente, un homomorfismo $\rho^{\flat}: A \to A_{[x,x^{-1}]}$ lo que equivale a una graduación en $A$ dado por $A=\bigoplus_{d \in \mathbb{Z}} A_d = \bigoplus_{d \in \mathbb{Z}} \rho^{\flat -1}(Ax^d)$ .
Esto es muy similar a una descomposición en subrepresentaciones irreducibles, sólo que no parece una representación sino una "correpresentación".
¿Cómo debo pensar en esta "co-representación"? ¿Es la teoría de los códulos sobre un álgebra de hopf simplemente "dual" en algún sentido a la de los módulos sobre un álgebra de hopf? (lo que significa que todo es prácticamente lo mismo hasta el cambio de flechas).
Por lo que entiendo en este punto nos gustaría considerar el lugar libre de la acción en $X$ . Esto es razonable (viniendo de la geometría diferencial donde las acciones libres por grupos compactos siempre existen) aunque me pregunto si esta técnica funciona para cualquier acción.
Pregunta 1 : ¿Existe siempre el cociente de un esquema por una acción libre de un esquema de grupo? (como esquema).
La interpretación del "lugar libre" de la acción en términos de álgebra me resulta bastante confusa. Conociendo la solución se supone que son submódulos primos de $A$ (ideales primos) que contienen el ideal irrelevante $A_+$ . El ideal irrelevante corresponde geométricamente al máximo subconjunto irreducible de $X$ en el que $\mathbb{G}_m$ actúa trivialmente. Así que los primos que lo contienen corresponden a conjuntos irreducibles que también debemos desechar. ¿Es esto cierto/suficiente?
Habiendo tirado los puntos problemáticos obtenemos una acción gratuita en $X\text{ \ }X_p$ que ahora, con suerte, podemos cotejar con la acción y obtener un $\mathbb{G}_m$ torsor. $SpecA \text{ \ } Spec{A_0} \to Proj A$ . El hecho de que las órbitas de la acción estén en 1-1 con ideales primos homogéneos (que no contengan el ideal irrelevante) es una consecuencia del hecho de que la órbita de cada punto del lugar libre es ella misma un punto (subesquema irreducible).
Al tener un torsor tenemos una equivalencia de categorías entre $\mathbb{G}_m$ -de la sheave equivariante en $SpecA \text{ \ } Spec{A_0}$ y gavillas en $Proj A$
Pregunta 2: ¿Es esto correcto?
Pregunta 3: ¿Cuál es una buena referencia para las gavillas equivariantes, los cocientes por esquemas de grupos y las pilas de cocientes en el contexto de la teoría de la representación geométrica?
