Media geométrica de la matriz

Question

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Voy a dar algunas definiciones.

Definición 1 Una matriz $C$ se llama la raíz cuadrada de la matriz $A$ si cumple con $C^2=A$ . Se puede escribir como $C=A^{\frac{1}{2}}$ .

Definición 2 Dadas dos matrices definidas positivas $A,B$ . La media geométrica de $A$ y $B$ se define como $$A\#B=A^{\frac{1}{2}}(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}.$$

Quiero probar que $A\#B$ es la única solución positiva definida de la ecuación $$XA^{-1}X=B.$$ Primero, debo probar que $A\#B$ es la solución de la ecuación anterior. La prueba ya está dada por el Sr. @Tamshin Dion en la respuesta de abajo. A continuación, debo demostrar que $A\#B$ es la única solución definida positiva para la ecuación.

Dejemos que $X=A^{\frac{1}{2}}(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}$ satisfaciendo $$XA^{-1}X=B.$$ Dejemos que $Y$ es otra matriz positiva definida que satisface $$YA^{-1}Y=B.$$ Desde $Y$ es positiva definida, entonces también es hermitiana. Por el Teorema Espectral, existe una matriz unitaria $U$ tal que $$Y=UDU^*$$ donde $D$ es una matriz diagonal. Entonces, tenemos \begin{align*} YA^{-1}Y=B &\iff (UDU^*)A^{-1}(UDU^*)=B\\ &\iff DU^*A^{-1}UD=U^*BU\\ &\iff (UD)^*A^{-1}UD=U^*BU\\ &\iff (UD)^*A^{-1}UD=U^*XA^{-1}XU\\ &\iff (UD)^*A^{-1}UD=(X^*U)^*A^{-1}(XU)\\ &\iff (UD)^*A^{-1}UD=(XU)^*A^{-1}(XU) \end{align*} Ahora, estoy atrapado aquí. Si puedo demostrar que $UD=XU$ entonces $UDU^*=X$ para que $Y=X$ . Pero, ¿cómo probarlo?

Notas :

1. Para la definición de la media geométrica, utilizo el libro de Rajendra Bhatia "Positive Definite Matrices".

2. $U^*$ denota la transposición conjugada.

Answer 1

Desde $XA^{-1}X=B$ tenemos $$\boxed{(A^{-\frac{1}{2}}XA^{-\frac{1}{2}})(A^{-\frac{1}{2}}XA^{-\frac{1}{2}})=A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}}$$ Entonces $X=A^{\frac{1}{2}}(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}.$