¿No debería funcionar la regla de l'Hopital para todos los límites, no sólo para las formas indeterminadas?

Question

¿Por qué tomar la proporción de $f'(x)$ à $g'(x)$ como $x \to a$ le da el límite correcto cuando $f(a)$ y $g(a)$ $= 0, \infty, -\infty$ pero no para otros valores de $a$ ?

Si el razonamiento para usar LHR es que la tangente es la aproximación lineal de la curva en un punto, ¿no debería funcionar la regla para todos los valores de $a$ ?

Answer 1

Tal vez deberíamos analizar por qué la regla de L'Hopital funciona cuando lo hace. Puede que no sea la explicación más rigurosa, pero debería darte una idea.

$\lim\limits_{a\to x} f(a)/g(a) = \lim\limits_{h\to 0} f(x+h)/g(x+h)$

cuando h es pequeño $f(x+h)$ ~ $f(x) + f'(x)h$

$\lim\limits_{h\to 0}f(x+h)/g(x+h) = \dfrac {f(x) + f'(x)h}{g(x) + g'(x)h}$

Si $f(x)$ y $g(x)$ son ambos $0$ entonces ese límite es igual a $f'(x)/g'(x)$

Si cualquiera de los dos $f(x)$ o $g(x)$ no son $0$ . Entonces el límite es igual a $f(x) / g(x)$

Supongamos que los números son los mismos... $f(x) = 0, f'(x) = 1, g(x) =1 , g'(x) = -1$

$\lim\limits_{h\to 0}f(x+h)/g(x+h) = \dfrac {h}{1-h}$ ¿qué ocurre cuando h llega a 0?

Answer 2

Un límite es cuando se tiende a un solo valor final. La regla de L'Hopital sirve para comparar dos límites que parecen tender a límites fácilmente determinables individualmente, pero no cuando se toman en conjunto. Son indeterminados en una comparación antes de la aplicación diferencial de la Regla.