Hace un canónica de la función de enlace siempre que existir para que un Modelo Lineal Generalizado (GLM)?

Question

En GLM, suponiendo un escalar $Y$ $\theta$ para la distribución subyacente con p.d.f. $$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ Se puede demostrar que $ \mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$. Si la función de enlace $g(\cdot)$ satisface las siguientes, $$g(\mu)=\theta = X'\beta $$ where $X'\beta$ is the linear predictor, then $g(\cdot)$ se llama canónica de la función de enlace para este modelo.

Mi pregunta es, ¿ un enlace canónico función siempre que existir para que un GLM? En otras palabras, puede $A'(\theta)$ siempre ser invertida? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para una canónica de la función de enlace de existir?

Answer 1

Para estas distribuciones $A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Desde la varianza y la dispersión de parámetros no son cero (e incluso positivo) $A'(\theta)$ es estrictamente una función creciente y debe ser invertible.

Sin embargo, no estoy seguro de si hay distribuciones de esta familia que tiene una infinita variación. Yo no era capaz de encontrar ejemplos de ello.