$r+s√d$ es una raíz de $x^3-3x-1=0$ . Demostrar que $3r^2s+s^3d-3s = 0$

Question

Supongamos que $r,s$ y $d$ son números racionales y que $\sqrt{d} $ es irracional. Supongamos que $r + s\sqrt{d}$ es una raíz de $x^3-3x-1$ . Demostrar que $3r^2s+s^3d-3s = 0$ y que $r-s\sqrt{d}$ debe ser también una raíz de $x^3-3x-1$ .

He intentado sustituir la raíz supuesta en el polinomio dado utilizando el teorema del resto igualándolo a cero. Siempre obtengo términos extra que no estoy seguro de cómo cancelar. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sustituyendo en $x=r+s\sqrt{d}$ y reordenando, se obtiene $$ r^3+2rs^2d-3r-1+\sqrt{d}(3r^2+s^3d-3s)=0 $$ Si asume $3r^2+s^3d-3s\neq0$ , entonces se obtiene $$ \sqrt{d}=\frac{-(r^3+2rs^2d-3r-1)}{3r^2+s^3d-3s} $$ contradiciendo la irracionalidad de $\sqrt{d}$ .

Answer 2

Supongamos que $r,s$ y $d$ son números racionales y que $\sqrt{d} $ es irracional. Supongamos que $r + s\sqrt{d}$ es una raíz de $x^3-3x-1$ . Demostrar que $\;\ldots$

De hecho, podría probar cualquier cosa de esa premisa. Eso es porque ninguna raíz de $\,x^3-3x-1\,$ es de la forma $\,r+s\sqrt{d}\,$ con $\,r,s,d \in \mathbb{Q}\,$ por lo que la premisa es falsa, y por lo tanto cualquier se podría derivar lógicamente de ella, incluyendo por ejemplo que $\,1=-1\,$ .

Para ver por qué no existe tal raíz, basta con observar que el polinomio mínimo de $\,r+s\sqrt{d}\,$ sobre los racionales es $\,(x-r-s\sqrt{d})(x-r+s\sqrt{d})\,$ y que tendría que dividir $\,x^3-3x-1\,$ . En ese caso, sin embargo, la tercera raíz del cúbico tendría que ser un racional (por Relaciones con Vieta ), pero no hay raíces racionales (por la teorema de la raíz racional ).