¿Cómo puedo encontrar el conjunto de puntos en $\Bbb C$ donde $f(z)=(z^4 + z)e^{\bar{z}}$ es diferenciable

Question

$$f(z) = {(z^4 + z)}e^{\bar{z}}$$

En el ejercicio hay $6$ posibles respuestas: $\{{0,-1, e^{i\pi/3}, e^{-i\pi/3}}\}$ ; $\{{0,1, e^{i\pi/3}, e^{-i\pi/3}}\}$ ; $\{{0,-1, e^{2i\pi/3}, e^{-2i\pi/3}}\}$ ; $\{{0,1, e^{2i\pi/3}, e^{-2i\pi/3}}\}$ ; $\{0\}$ ; $\emptyset$ .

La respuesta correcta según las soluciones del examen parece ser: $${0,-1, e^{i\pi/3}, e^{-i\pi/3}}$$

Al principio intenté ir por el camino de aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, sin embargo resultó ser muy difícil y parece que no se puede resolver simplemente así, sin embargo puedo estar equivocado.

Puesto que, si una función es analítica en una región R, puede escribirse como una serie de potencias en ella, y $f(0)=f(1)=f(e^{i\pi})=f(e^{-i\pi})=0$ , mientras que no ocurre lo mismo en los otros puntos donde si lo expando en forma de serie no se puede expresar en forma de serie de potencias creo, entonces eso eliminaría la respuesta $2$ , $3$ y $4$ .

Si lo que digo es correcto, ¿tengo que comprobar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en estos puntos? El proceso es muy largo y exigente, además no parece el camino a seguir. Supongo que hay algo que se me escapa.

Answer 1

Observe que $f$ es diferenciable en un punto $z_0\in\mathbb C$ si y sólo si es diferenciable real (lo que su función es en todas partes) y satisface las ecuaciones de Cauchy--Riemann en ese punto, que es $\partial_{\bar z} f(z_0) = 0$ .

Desde $g(z) = z^4+z$ es holomorfa, se deduce por el producto rile y $\partial_{\bar z} g(z)=0$ que $$\partial_{\bar z} f(z) =g (z)\cdot \partial_{\bar z} e^{\bar z} = f(z)$$

es decir $f(z)$ satisface las ecuaciones de Cauchy--Riemann exactamente cuando $f(z_0)=0$ y como $e^{\bar z}$ no tiene ceros, se tiene que resolver $z^4+z=0$ , dando la primero solución que menciona.

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Aquí $\partial_{\bar z} = \frac 1 2 \left(\partial_x + i \partial_y\right)$ es uno de los derivados de Wirtinger. Puedes comprobar a mano multiplicando que $\partial_{\bar z} (u+iv) = 0$ es equivalente a las ecuaciones de Cauchy--Riemann, y que $\partial_{\bar z}$ y que esta derivada y $\partial_{z}= \frac 1 2 \left(\partial_x - i \partial_y\right)$ satisfacen la regla del producto y conmutan, por ejemplo.