Consideremos la ecuación diferencial $\dot{x} = f(t, x)$ con $f$ siendo una función continuamente diferenciable de $G \to \mathbb{R}^n$ con $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ un subconjunto abierto. Sea $f$ sea (globalmente) Lipschitz en $G$ con respecto a $x$ con una constante de Lipschitz $L > 0$ .
Quiero probar: si $x_1$ y $x_2$ son dos soluciones de la ecuación diferencial $\dot{x} = f(t, x)$ que se definen en un intervalo $[a, b] \subset \mathbb{R}$ Entonces tenemos eso:
$$||x_1(t) - x_2(t) ||x_1(a) - x_2(a)||e^{L(t-a)}$$
para todos $t \in [a, b]$ .
Estaba pensando en utilizar el La desigualdad de Grönwall para resolver esto.
Veo que, para utilizar la desigualdad de Grönwall, tengo que demostrar que
$$ ||x_1(t) - x_2(t)|| ||x_1(a) - x_2(a)|| + L\left\lvert\int_a^t ||x_1(t) - x_2(t)||ds\right\rvert$$
para todos $t \in [a, b]$ . Sin embargo, ahí es donde me he atascado. Esta desigualdad es obviamente cierta para $t = a$ Pero, ¿cómo puedo mostrar esto para $t > 0$ ? Sé que tengo que utilizar de alguna manera el hecho de que $f(t, x)$ es continua de Lipschitz con la constante $L > 0$ ; ¿pero por qué me dice eso que la integral en el RHS siempre "crece lo suficientemente rápido"?
