Porque dado un morfismo de gavillas, en general, sé que la preseaf de imagen (o la preseaf de cokernel) no es una gavilla.
¿existe cuando la presheaf de imagen (o la presheaf de cokernel) de morfismo de gavillas es una gavilla?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La versión corta: El cokernel de un morfismo de gavillas $\mathcal{F'} \rightarrow \mathcal{F}$ es una gavilla si $F'$ es acíclico. Un tipo común de gavilla acíclica son las gavillas flasqueadas/flácidas, gavillas en las que todos los mapas de restricción son suryentes.
Supongamos que tenemos una secuencia exacta $0 \rightarrow\mathcal{F'} \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F''} \rightarrow 0.$ Consideremos el funtor de olvido de la categoría de gavillas a la categoría de pregavillas. Este functor es exacto a la izquierda, por lo que ahora tenemos una secuencia exacta a la izquierda $0 \rightarrow F' \rightarrow F \rightarrow F''.$ ( $F$ es la preforma correspondiente a $\mathcal{F'}$ ; no conozco la convención al respecto, por lo que probablemente no sea una buena notación).
El functor derivado del funtor de olvido nos da una secuencia exacta larga $0\rightarrow F' \rightarrow F \rightarrow F'' \rightarrow H^1F' \rightarrow H^1F\rightarrow H^1F''\rightarrow \cdots$ (una vez más, no conozco la notación estándar para lo que yo llamo $H^1F$ ; estoy más acostumbrado a trabajar con el functor derivado del functor de secciones globales que con el functor de olvido).
Por lo tanto, la secuencia exacta a la izquierda de presheaves será exacta (en cuyo caso $F''$ , una gavilla, corresponde al cokernel) si $H^1F'$ es $0$ . Entonces la gavilla $F'$ se denomina acíclica; una clase importante de láminas acíclicas son las láminas flácidas, que son láminas en las que todos los mapas de restricción son suryentes.
La imagen es sólo el núcleo del cokernel, así que si el cokernel es una gavilla, también lo es la imagen.
EDIT: Lo siento, algunos de mis if y only if eran incorrectos. Ahora deberían estar arreglados.
