¿Por qué es $\langle S\mid R\cup R'\rangle $ una presentación para $G/N(R')$ , donde $G$ es un grupo con presentación $\langle S\mid R\rangle?$

Question

Supongamos que $G$ es un grupo con presentación $\langle S\mid R\rangle $ . Con esto me refiero a $G \cong F(S)/N(R) $ , donde $F(S)$ es el grupo libre generado por el conjunto $S$ y $N(R)$ es el cierre normal del subconjunto $R\subseteq F(S)$ .

Dejemos que $R'\subseteq G$ sea un subconjunto.

¿Por qué es $\langle S\mid R\cup R'\rangle $ una presentación para $G/N(R')$ ?

Mi intuición me dice que hacer $G/N(R')$ requiere esencialmente la satisfacción de las relaciones adicionales en $R'$ , por lo que debería obtener $\langle S\mid R\cup R'\rangle$ (si interpreto $R'$ como un conjunto de palabras en $F(S)$ (?)).

Supongo que empezar a trabajar con propiedades universales me dejaría sin saber qué está pasando realmente. ¿Alguien puede dar una explicación más precisa, o esbozar una prueba?

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Definición: dejar $S$ sea un conjunto y $R\subseteq F(S)$ un subconjunto. Un grupo $G$ se dice que tiene presentación $\langle S\mid R\rangle$ si $G \cong F(S)/N(R)$

Answer 1

Observe que $F(S)$ es un grupo, $N(R) \trianglelefteq F(S)$ , $N(R \cup R') \trianglelefteq F(S)$ y $N(R) \subseteq N(R \cup R')$ . Por el tercer teorema del isomorfismo, $$ \frac{F(S)}{N(R \cup R')} \cong \frac{F(S)/N(R)}{N(R \cup R')/N(R)} $$ o, como presentaciones, $$ \langle S \mid R \cup R' \rangle \cong \frac{\langle S \mid R \rangle}{N(R \cup R')/N(R)} \text{.} $$ ¿Es usted capaz de demostrar que la única parte de $\langle S \mid R \rangle$ que se envía realmente a la identidad por el cociente de la derecha es $N(R')$ ? (En particular, el cociente implícito en $\langle S \mid R \rangle$ ya ha enviado todos los $N(R)$ a la identidad, por lo que sólo un subconjunto de $N(R')$ que queda por enviar allí).